Problema Juliol 2009

Donada la matriu $$A(\alpha) =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \alpha – 2 \\
4 & 3 & 2 \\
\alpha & \alpha & -6
\end{pmatrix}$$ a) Càlcul del determinant de la matriu $A(\alpha)$ b) Nombres reals $\alpha$ per als quals $\det(A(\alpha)^{-1}) = \frac{1}{66}$

Per resoldre el problema que implica la matriu $A(\alpha)$:

$$A(\alpha) =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \alpha – 2 \\
4 & 3 & 2 \\
\alpha & \alpha & -6
\end{pmatrix}$$

a) Càlcul del determinant de la matriu $A(\alpha)$

El determinant d’una matriu $3 \times 3$ es pot calcular utilitzant la regla de Sarrus o l’expansió per cofactors. Usarem l’expansió per cofactors per la primera fila:

$$\det(A(\alpha)) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
\alpha & -6
\end{pmatrix} – 2 \cdot \det\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\alpha & -6
\end{pmatrix} + (\alpha – 2) \cdot \det\begin{pmatrix}
4 & 3 \\
\alpha & \alpha
\end{pmatrix}$$

Calculem cada un dels determinants de les submatrius.

1. Càlcul de $\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\ \alpha & -6 \end{pmatrix}$

$$\det\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
\alpha & -6
\end{pmatrix} = 3 \cdot (-6) – 2 \cdot \alpha = -18 – 2\alpha = -18 – 2\alpha$$

2. Càlcul de $\det\begin{pmatrix}4 & 2 \\ \alpha & -6\end{pmatrix}$

$$\det\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
\alpha & -6
\end{pmatrix} = 4 \cdot (-6) – 2 \cdot \alpha = -24 – 2\alpha$$

3. Càlcul de $\det\begin{pmatrix}4 & 3 \\ \alpha & \alpha \end{pmatrix}$

$$\det\begin{pmatrix}
4 & 3 \\
\alpha & \alpha
\end{pmatrix} = 4 \cdot \alpha – 3 \cdot \alpha = 4\alpha – 3\alpha = \alpha$$

Càlcul del determinant total

Ara, substituïm aquests resultats a l’expressió del determinant:

$$\det(A(\alpha)) = 1 \cdot (-18 – 2\alpha) – 2 \cdot (-24 – 2\alpha) + (\alpha – 2) \cdot \alpha$$

Resolent pas a pas:

$$= -18 – 2\alpha + 48 + 4\alpha + \alpha^2 – 2\alpha$$

Combinen termes:

$$= (-18 + 48) + (-2\alpha + 4\alpha – 2\alpha) + \alpha^2$$

$$= 30 + 0\alpha + \alpha^2$$

Finalment, tenim:

$$\det(A(\alpha)) = \alpha^2 + 30$$

b) Nombres reals $\alpha$ per als quals $\det(A(\alpha)^{-1}) = \frac{1}{66}$

Sabem que $\det(A(\alpha)^{-1}) = \frac{1}{\det(A(\alpha))}$. Per tant, necessitem:

$$\frac{1}{\det(A(\alpha))} = \frac{1}{66}$$

Això implica:

$$\det(A(\alpha)) = 66$$

Substituïm l’expressió del determinant que hem trobat:

$$\alpha^2 + 30 = 66$$

Resolent per $\alpha$:

$$\alpha^2 = 66 – 30$$

$$\alpha^2 = 36$$

$$\alpha = \pm 6$$

Resultats finals

1. El determinant de la matriu $A(\alpha)$ és:

$$\det(A(\alpha)) = \alpha^2 + 30$$

2. Els nombres reals $\alpha$ per als quals el determinant de la matriu inversa de $A(\alpha)$ és igual a $\frac{1}{66}$ són:

$$\alpha = 6 \quad \text{i} \quad \alpha = -6$$