Sistema d’equacions

Sistema d’equacions
26 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Resoleu el següent sistema: $$\begin{cases}5x – 3z = 2 \quad \\ -y + 2z = -5 \quad \\ x + 2z = 8 \quad \end{cases}$$

Per resoldre el següent sistema d’equacions lineals:

$$\begin{cases}
5x – 3z = 2 \quad (i) \\
-y + 2z = -5 \quad (ii) \\
x + 2z = 8 \quad (iii)
\end{cases}$$

Podem fer servir el mètode de substitució o el mètode de Gauss. En aquest cas, optarem pel mètode de substitució.

1. Resoldre per una variable

Comencem per resoldre la tercera equació $iii$ per $x$:

$$x + 2z = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 8 – 2z \tag{1}$$

2. Substituir $x$ en $i$ i $ii$

Ara substituïm $1$ en les dues primeres equacions.

Substituïm en $i$:

$$5(8 – 2z) – 3z = 2$$

Resolent:

$$40 – 10z – 3z = 2$$

$$40 – 13z = 2$$

$$-13z = 2 – 40$$

$$-13z = -38 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{-38}{-13} = \frac{38}{13}$$

Substituïm en $ii$:

Ara substituïm $z$ en l’equació $ii$:

$$-y + 2\left(\frac{38}{13}\right) = -5$$

Resolent:

$$-y + \frac{76}{13} = -5$$

Ajustem $-5$ a la mateixa base:

$$-y + \frac{76}{13} = \frac{-65}{13}$$

$$-y = \frac{-65}{13} – \frac{76}{13} = \frac{-141}{13}$$

$$y = \frac{141}{13}$$

3. Finalment, substituïm $z$ per trobar $x$

Ara substituïm el valor de $z$ en $1$:

$$x = 8 – 2\left(\frac{38}{13}\right)$$

Resolent:

$$x = 8 – \frac{76}{13}$$

Ajustem $8$ a la mateixa base:

$$x = \frac{104}{13} – \frac{76}{13} = \frac{28}{13}$$

Solució Final

Les solucions del sistema d’equacions són:

$$x = \frac{28}{13}, \quad y = \frac{141}{13}, \quad z = \frac{38}{13}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *