LEMNISCATA
Matemàtiques
Per resoldre el següent sistema d’equacions lineals:
$$\begin{cases}
5x – 3z = 2 \quad (i) \\
-y + 2z = -5 \quad (ii) \\
x + 2z = 8 \quad (iii)
\end{cases}$$
Podem fer servir el mètode de substitució o el mètode de Gauss. En aquest cas, optarem pel mètode de substitució.
Comencem per resoldre la tercera equació $iii$ per $x$:
$$x + 2z = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 8 – 2z \tag{1}$$
Ara substituïm $1$ en les dues primeres equacions.
$$5(8 – 2z) – 3z = 2$$
Resolent:
$$40 – 10z – 3z = 2$$
$$40 – 13z = 2$$
$$-13z = 2 – 40$$
$$-13z = -38 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{-38}{-13} = \frac{38}{13}$$
Ara substituïm $z$ en l’equació $ii$:
$$-y + 2\left(\frac{38}{13}\right) = -5$$
Resolent:
$$-y + \frac{76}{13} = -5$$
Ajustem $-5$ a la mateixa base:
$$-y + \frac{76}{13} = \frac{-65}{13}$$
$$-y = \frac{-65}{13} – \frac{76}{13} = \frac{-141}{13}$$
$$y = \frac{141}{13}$$
Ara substituïm el valor de $z$ en $1$:
$$x = 8 – 2\left(\frac{38}{13}\right)$$
Resolent:
$$x = 8 – \frac{76}{13}$$
Ajustem $8$ a la mateixa base:
$$x = \frac{104}{13} – \frac{76}{13} = \frac{28}{13}$$
Les solucions del sistema d’equacions són:
$$x = \frac{28}{13}, \quad y = \frac{141}{13}, \quad z = \frac{38}{13}$$