Sistema d’equacions

Resoleu el següents sistema: $$\begin{cases} 2x + 3y + z = 1 \quad \\ 6x – 2y – z = -14 \quad \\ 3x + y – z = 1 \quad \end{cases}$$

Per resoldre el sistema d’equacions:

$$\begin{cases}
2x + 3y + z = 1 \quad \\
6x – 2y – z = -14 \quad \\
3x + y – z = 1 \quad
\end{cases}$$

utilitzarem el mètode de Gauss.

1. Representació en forma de matriu augmentada

Podem escriure el sistema com una matriu augmentada $[A | b]$:

$$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & | & 1 \\
6 & -2 & -1 & | & -14 \\
3 & 1 & -1 & | & 1
\end{pmatrix}$$

2. Transformacions de Gauss

Pas 1: Fer zeros sota el primer element de la primera columna

Multipliquem la primera fila per $3$ i restem de la tercera fila per fer zero a la tercera fila:

$$R_3 \leftarrow R_3 – \frac{3}{2} R_1$$

Per a $R_2$, restem $3$ vegades la primera fila de la segona fila:

$$R_2 \leftarrow R_2 – 3R_1$$

Així que:

$$R_2 = R_2 – 3 \cdot R_1 = (6, -2, -1 | -14) – 3 \cdot (2, 3, 1 | 1) = (0, -11, -4 | -17)$$

$$R_3 = R_3 – \frac{3}{2} R_1 = (3, 1, -1 | 1) – \frac{3}{2} \cdot (2, 3, 1 | 1) = (0, -3.5, -2.5 | -0.5)$$

Així, la matriu augmentada es converteix en:

$$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & | & 1 \\
0 & -11 & -4 & | & -17 \\
0 & -3.5 & -2.5 & | & -0.5
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Fer zeros sota el segon element de la segona columna

Multipliquem la segona fila per $-\frac{1}{11}$ per simplificar:

$$R_2 \leftarrow -\frac{1}{11} R_2$$

$$R_2 = (0, -11, -4 | -17) \rightarrow (0, 1, \frac{4}{11} | \frac{17}{11})$$

Ara fem zero a la tercera fila. Per fer-ho, multipliquem la segona fila per $3.5$ i restem de la tercera fila:

$$R_3 \leftarrow R_3 + 3.5R_2$$

$$R_3 = (0, -3.5, -2.5 | -0.5) + 3.5(0, 1, \frac{4}{11} | \frac{17}{11}) = (0, 0, -2.5 + \frac{14}{11} | -0.5 + \frac{59.5}{11})$$

Calculant:

$$-2.5 + \frac{14}{11} = -\frac{27.5}{11} + \frac{14}{11} = -\frac{13.5}{11}$$

$$-0.5 + \frac{59.5}{11} = -\frac{5.5}{11} + \frac{59.5}{11} = \frac{54}{11}$$

Així, la matriu augmentada és:

$$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & | & 1 \\
0 & 1 & \frac{4}{11} & | & \frac{17}{11} \\
0 & 0 & \frac{-13.5}{11} & | & \frac{54}{11}
\end{pmatrix}$$

Pas 3: Simplificar la tercera fila

Multipliquem la tercera fila per $-\frac{11}{13.5}$ per simplificar:

$$R_3 \leftarrow -\frac{11}{13.5}R_3$$

3. Sustitució inversa

Ara podem fer la substitució inversa.

Pas 1: Resolució per $z$

De la tercera fila:

$$z = \frac{54}{-13.5} = -4$$

Pas 2: Sustituïm $z$ en la segona fila

Substituïm $z$ en la segona fila:

$$y + \frac{4}{11}(-4) = \frac{17}{11}$$
$$y – \frac{16}{11} = \frac{17}{11} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{33}{11} = 3$$

Pas 3: Sustituïm $y$ i $z$ en la primera fila

Substituïm $y$ i $z$ en la primera fila:

$$2x + 3(3) – 4 = 1$$
$$2x + 9 – 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x + 5 = 1$$
$$2x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$

Solució final

Per tant, la solució del sistema d’equacions és:

$$x = -2, \quad y = 3, \quad z = -4$$