Sistema d’equacions pel mètode de Gauss

Sistema d’equacions pel mètode de Gauss
26 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Resoleu el següent sistema d’equacions: $$\begin{cases}x + y + z = 6 \quad \\ x – y + 2z = 5 \quad \\ x – y – 3z = -10 \quad\end{cases}$$

Per resoldre el sistema d’equacions utilitzant el mètode de Gauss, seguirem els passos següents:

Sistema d’equacions

$$\begin{cases}
x + y + z = 6 \quad \\
x – y + 2z = 5 \quad \\
x – y – 3z = -10 \quad (iii)
\end{cases}$$

1. Representació en forma de matriu augmentada

Podem escriure el sistema com una matriu augmentada $[A | b]$:

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6\\
1 & -1 & 2 & | & 5 \\
1 & -1 & -3 & | & -10
\end{pmatrix}$$

2. Transformacions de Gauss

Pas 1: Restar la primera fila de la segona i la tercera fila

Restem la primera fila de la segona i la tercera fila:

$$R_2 \leftarrow R_2 – R_1$$
$$R_3 \leftarrow R_3 – R_1$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -2 & 1 & | & -1 \\
0 & -2 & -4 & | & -16
\end{pmatrix}$$

Pas 2: Simplificar la segona fila

Multipliquem la segona fila per $-\frac{1}{2}$ per simplificar:

$$R_2 \leftarrow -\frac{1}{2}R_2$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & -2 & -4 & | & -16
\end{pmatrix}$$

Pas 3: Afegir dues vegades la segona fila a la tercera

Afegim dues vegades la segona fila a la tercera fila:

$$R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & -5 & | & -15
\end{pmatrix}$$

Pas 4: Simplificar la tercera fila

Dividim la tercera fila per $-5$:

$$R_3 \leftarrow -\frac{1}{5}R_3$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & | & 3
\end{pmatrix}$$

3. Sustitució inversa

Ara podem fer la substitució inversa.

Pas 1: Resolució per (z)

De la tercera fila:

$$z = 3$$

Pas 2: Sustituïm $z$ en la segona fila

Substituïm $z$ en la segona fila:

$$y – \frac{1}{2}(3) = \frac{1}{2}$$
$$y – \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 2$$

Pas 3: Sustituïm $y$ i $z$ en la primera fila

Substituïm $y$ i $z$ en la primera fila:

$$x + 2 + 3 = 6$$
$$x + 5 = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Solució final

Per tant, la solució del sistema d’equacions és:

$$x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *