LEMNISCATA
Matemàtiques
Per resoldre el sistema d’equacions utilitzant el mètode de Gauss, seguirem els passos següents:
$$\begin{cases}
x + y + z = 6 \quad \\
x – y + 2z = 5 \quad \\
x – y – 3z = -10 \quad (iii)
\end{cases}$$
Podem escriure el sistema com una matriu augmentada $[A | b]$:
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6\\
1 & -1 & 2 & | & 5 \\
1 & -1 & -3 & | & -10
\end{pmatrix}$$
Restem la primera fila de la segona i la tercera fila:
$$R_2 \leftarrow R_2 – R_1$$
$$R_3 \leftarrow R_3 – R_1$$
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -2 & 1 & | & -1 \\
0 & -2 & -4 & | & -16
\end{pmatrix}$$
Multipliquem la segona fila per $-\frac{1}{2}$ per simplificar:
$$R_2 \leftarrow -\frac{1}{2}R_2$$
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & -2 & -4 & | & -16
\end{pmatrix}$$
Afegim dues vegades la segona fila a la tercera fila:
$$R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2$$
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & -5 & | & -15
\end{pmatrix}$$
Dividim la tercera fila per $-5$:
$$R_3 \leftarrow -\frac{1}{5}R_3$$
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & | & 3
\end{pmatrix}$$
Ara podem fer la substitució inversa.
De la tercera fila:
$$z = 3$$
Substituïm $z$ en la segona fila:
$$y – \frac{1}{2}(3) = \frac{1}{2}$$
$$y – \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 2$$
Substituïm $y$ i $z$ en la primera fila:
$$x + 2 + 3 = 6$$
$$x + 5 = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$
Per tant, la solució del sistema d’equacions és:
$$x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3$$