Sistema d’equacions

Sistema d’equacions
26 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Resoleu el següent sistema d’equacions: $$\begin{cases}
x + y – 2z = 1 \\
2x – 4y + z = 0 \\
2y – 3z = -1
\end{cases}$$

Sistema d’equacions

El sistema és:

$$\begin{cases}
x + y – 2z = 1 \\
2x – 4y + z = 0 \\
2y – 3z = -1
\end{cases}$$

1. Matriu de coeficients $\Delta$

La matriu de coeficients és:

$$\Delta = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -4 & 1 \\
0 & 2 & -3
\end{pmatrix}$$

2. Matriu de constants $b$

El vector de constants és:

$$b = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}$$

3. Matriu $\Delta_x$

Substituïm la primera columna de $\Delta$ per $b$:

$$\Delta_x = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
0 & -4 & 1 \\
-1 & 2 & -3
\end{pmatrix}$$

4. Matriu $\Delta_y$

Substituïm la segona columna de $\Delta$ per $b$:

$$\Delta_y = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -3
\end{pmatrix}$$

5. Matriu $\Delta_z$

Substituïm la tercera columna de $\Delta$ per $b$:

$$\Delta_z = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -4 & 0 \\
0 & 2 & -1
\end{pmatrix}$$

6. Càlcul dels determinants

Ara, calculem el determinant $\Delta$ i els determinants $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$.

Determinant $\Delta$

$$\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -4 & 1 \\
0 & 2 & -3
\end{vmatrix} = 8$$

Càlcul de $\Delta_x$

$$\Delta_x = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 \\
0 & -4 & 1 \\
-1 & 2 & -3
\end{vmatrix} = 17$$

Càlcul de $\Delta_y$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -3
\end{vmatrix} = 11$$

Càlcul de $\Delta_z$

$$\Delta_z = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -4 & 0 \\
0 & 2 & -1
\end{vmatrix} = 10$$

7. Solucions per Cramer

Ara, amb els determinants calculats, podem trobar les solucions per Cramer:

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$$

Substituïm els valors:

$$x = \frac{17}{8}, \quad y = \frac{11}{8}, \quad z = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$

Resultat Final

Les solucions del sistema són:

$$\begin{cases}
x = \frac{17}{8} \\
y = \frac{11}{8} \\
z = \frac{5}{4}
\end{cases}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *