LEMNISCATA
Matemàtiques
El sistema és:
$$\begin{cases}
x + y – 2z = 1 \\
2x – 4y + z = 0 \\
2y – 3z = -1
\end{cases}$$
La matriu de coeficients és:
$$\Delta = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -4 & 1 \\
0 & 2 & -3
\end{pmatrix}$$
El vector de constants és:
$$b = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}$$
Substituïm la primera columna de $\Delta$ per $b$:
$$\Delta_x = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
0 & -4 & 1 \\
-1 & 2 & -3
\end{pmatrix}$$
Substituïm la segona columna de $\Delta$ per $b$:
$$\Delta_y = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -3
\end{pmatrix}$$
Substituïm la tercera columna de $\Delta$ per $b$:
$$\Delta_z = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -4 & 0 \\
0 & 2 & -1
\end{pmatrix}$$
Ara, calculem el determinant $\Delta$ i els determinants $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$.
$$\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -4 & 1 \\
0 & 2 & -3
\end{vmatrix} = 8$$
$$\Delta_x = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 \\
0 & -4 & 1 \\
-1 & 2 & -3
\end{vmatrix} = 17$$
$$\Delta_y = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -3
\end{vmatrix} = 11$$
$$\Delta_z = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -4 & 0 \\
0 & 2 & -1
\end{vmatrix} = 10$$
Ara, amb els determinants calculats, podem trobar les solucions per Cramer:
$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$$
Substituïm els valors:
$$x = \frac{17}{8}, \quad y = \frac{11}{8}, \quad z = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$
Les solucions del sistema són:
$$\begin{cases}
x = \frac{17}{8} \\
y = \frac{11}{8} \\
z = \frac{5}{4}
\end{cases}$$