Sistema d’equacions 3×3

Sistema d’equacions 3×3
26 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Àlgebra, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Resoleu el següent sistema d’equacions $$\begin{cases} 3x + 4y – 2z = 0 \\ 2x – 3y + 4z = 11 \\ x – 2y + 3z = 7 \end{cases}$$

Per resoldre aquest sistema amb la regla de Cramer, necessitem trobar el valor de les incògnites $x$, $y$ i $z$ utilitzant determinats de matrius.

El sistema d’equacions és:

$$\begin{cases}
3x + 4y – 2z = 0 \\
2x – 3y + 4z = 11 \\
x – 2y + 3z = 7
\end{cases}$$

Pas 1: Determinant de la matriu de coeficients, $\Delta$

La matriu de coeficients és:
$$\Delta = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$

Calcularem el determinant de $\Delta$ per assegurar-nos que $\Delta\neq 0$, ja que, en aquest cas, la regla de Cramer és aplicable.

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = -9$$

Pas 2: Determinants $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$

Substituïm la columna corresponent de cada incògnita amb el vector dels termes independents:

  1. $\Delta_x$: substituïm la primera columna de $\Delta$ pel vector de resultats:
    $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 0 & 4 & -2 \\ 11 & -3 & 4 \\ 7 & -2 & 3 \end{vmatrix} = −18$$
  2. $\Delta_y$: substituïm la segona columna de $\Delta$ pel vector de resultats:
    $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 2 & 11 & 4 \\ 1 & 7 & 3 \end{vmatrix} = 9$$
  3. $\Delta_z$: substituïm la tercera columna de ( D ) pel vector de resultats:
    $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 2 & -3 & 11 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} = -9$$

Pas 3: Càlcul de les incògnites $x$, $y$ i $z$

Si el determinant $\Delta\neq 0$, les solucions són:
$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-18}{-9} = 2, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{9}{-9} = -1, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-9}{-9} = 1$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *