LEMNISCATA
Matemàtiques
Per estudiar la convergència de la sèrie
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}},$$
farem servir el criteri de comparació i les propietats de les funcions trigonomètriques.
La funció $\cos(k)$ és oscil·lant, per tant, el seu quadrat, $\cos^2(k)$, oscil·la entre $0$ i $1$. Per tant, podem dir que:
$$0 \leq \cos^2(k) \leq 1.$$
Tenint en compte que $\cos^2(k)$ està sempre entre $0$ i $1$, podem escriure:
$$0 \leq \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}} \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$$
Ara, considerem la sèrie $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$. Aquesta sèrie és coneguda i podem determinar si convergeix o no. La sèrie $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$ és una sèrie $p$, amb $p = \frac{1}{2} < 1$, i per tant divergeix.
Com que $\frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}} \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$ i $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$ divergeix, no podem fer una conclusió immediata sobre la sèrie original. No obstant això, $\cos^2(k)$ no oscil·la de manera regular i, per tant, la seva contribució a la sèrie pot ser menor.
Considerem el comportament de $\cos^2(k)$:
Podem utilitzar el criteri de Dirichlet o la convergència condicional. Sabem que:
Així, podem observar que, donat que $\cos^2(k)$ oscil·la i no supera $1$, podem considerar que:
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}}$$
és una suma que, a pesar de tenir termes positius, no creix infinitament.
Si analitzem la sèrie, ens adonem que, per a $\cos^2(k)$ no ser un valor constant, és raonable concloure que:
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}}$$
convergeix, a causa de l’oscil·lar dels termes de la sèrie i del fet que $\cos^2(k)$ és prou petit per a la seva contribució a ser insignificant a mesura que $k$ creix.
Així, podem dir que la sèrie convergència.
La sèrie
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}}$$
convergeix gràcies al seu comportament oscil·lant i el criteri de comparació amb una sèrie divergent, juntament amb l’anàlisi del comportament de la funció trigonomètrica implicada.