Problema sobre sèries numèriques

Problema sobre sèries numèriques
28 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Càlcul, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Estudieu la convergència de la la de la sèrie $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}},$$

Per estudiar la convergència de la sèrie

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}},$$

farem servir el criteri de comparació i les propietats de les funcions trigonomètriques.

Pas 1: Anàlisi de $\cos^2(k)$

La funció $\cos(k)$ és oscil·lant, per tant, el seu quadrat, $\cos^2(k)$, oscil·la entre $0$ i $1$. Per tant, podem dir que:

$$0 \leq \cos^2(k) \leq 1.$$

Pas 2: Comparació amb una sèrie coneguda

Tenint en compte que $\cos^2(k)$ està sempre entre $0$ i $1$, podem escriure:

$$0 \leq \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}} \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$$

Ara, considerem la sèrie $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$. Aquesta sèrie és coneguda i podem determinar si convergeix o no. La sèrie $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$ és una sèrie $p$, amb $p = \frac{1}{2} < 1$, i per tant divergeix.

Pas 3: Aplicació del criteri de comparació

Com que $\frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}} \leq \frac{1}{\sqrt{k}}$ i $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}$ divergeix, no podem fer una conclusió immediata sobre la sèrie original. No obstant això, $\cos^2(k)$ no oscil·la de manera regular i, per tant, la seva contribució a la sèrie pot ser menor.

Pas 4: Criteri de convergència de sèrie alternades

Considerem el comportament de $\cos^2(k)$:

  • $\cos(k)$ pren valors en $[-1, 1]$ i per tant $\cos^2(k)$ pren valors en $[0, 1]$.
  • No obstant això, hem observat que $\cos(k)$ oscil·la regularment. En particular, per a $k = j\pi$, on $j$ és un enter, $\cos^2(k)$ es fa igual a $1$ i, per altres valors, disminueix.

Pas 5: Estudi de la convergència

Podem utilitzar el criteri de Dirichlet o la convergència condicional. Sabem que:

  1. Criteri de Dirichlet: Si una sèrie alternada està ben definida i les seves sumes parials convergeixen a zero, llavors la sèrie convergeix.

Així, podem observar que, donat que $\cos^2(k)$ oscil·la i no supera $1$, podem considerar que:

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}}$$

és una suma que, a pesar de tenir termes positius, no creix infinitament.

Conclusió

Si analitzem la sèrie, ens adonem que, per a $\cos^2(k)$ no ser un valor constant, és raonable concloure que:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}}$$

convergeix, a causa de l’oscil·lar dels termes de la sèrie i del fet que $\cos^2(k)$ és prou petit per a la seva contribució a ser insignificant a mesura que $k$ creix.

Així, podem dir que la sèrie convergència.

Resum

La sèrie

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}}$$

convergeix gràcies al seu comportament oscil·lant i el criteri de comparació amb una sèrie divergent, juntament amb l’anàlisi del comportament de la funció trigonomètrica implicada.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *