Càlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan

Per trobar la inversa de la matriu $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ pel mètode de Gauss-Jordan:

1. Matriu ampliada:
   $$[A | I] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
2. Operacions de files:

• $F2 \gets F2 – 2F1$, $F3 \gets F3 – 3F1$:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & -2 & | & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
• $F2 \gets F2 / (-3)$:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -6 & -2 & | & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
• $F3 \gets F3 + 6F2$, $F3 \gets F3 / 2$:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
• $F1 \gets F1 – F3$, $F2 \gets F2 – \frac{2}{3}F3$:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
• $F1 \gets F1 – 2F2$:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Resultat:
La part dreta és la inversa:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$