Càlcul de la Hessiana en una funció de 3 variables

Troba la matriu Hessiana en el punt ($0, 1, \pi$) de la següent funció amb tres variables:

$$f(x, y, z) = e^{-x} \cdot \sin(yz)$$

Troba la matriu Hessiana en el punt ((0, 1, \pi)) de la funció amb tres variables:

\begin{equation}
f(x, y, z) = e^{-x} \cdot \sin(yz)
\end{equation}

Per calcular la matriu Hessiana, hem de:

1. Calcular les derivades parciales de primer ordre.
2. Calcular les derivades parciales de segon ordre.
3. Construir la matriu Hessiana amb les derivades de segon ordre.
4. Avaluar-la en el punt $(0, 1, \pi)$.

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Pas 1: Derivades parciales de primer ordre

Calculem les derivades parciales de $f(x, y, z)$ respecte a $x$, $y$ i $z$:

• Derivada respecte a $x$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-x} \cdot \sin(yz) \right) = -e^{-x} \cdot \sin(yz),
  \end{equation}
  ja que la derivada de (e^{-x}) és (-e^{-x}), i (\sin(yz)) és constant respecte a (x).
• Derivada respecte a$y$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-x} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sin(yz) \right) = e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot z,
  \end{equation}
  ja que la derivada de (\sin(yz)) respecte a (y) és (\cos(yz) \cdot z).
• Derivada respecte a $z$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial z} = e^{-x} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left( \sin(yz) \right) = e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot y,
  \end{equation}
  ja que la derivada de (\sin(yz)) respecte a (z) és (\cos(yz) \cdot y).

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Pas 2: Derivades parciales de segon ordre

Calculem totes les derivades de segon ordre. Com que les derivades mixtes són simètriques ($\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$, etc.), n’hi ha 6 úniques.

a) Derivades respecte a una sola variable

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial x} = -e^{-x} \cdot \sin(yz),
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -e^{-x} \cdot \sin(yz) \right) = e^{-x} \cdot \sin(yz).
  \end{equation}
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot z,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = e^{-x} \cdot z \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \cos(yz) \right) = e^{-x} \cdot z \cdot (-\sin(yz) \cdot z) = -e^{-x} \cdot z^2 \cdot \sin(yz).
  \end{equation}
• $\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial z} = e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot y,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = e^{-x} \cdot y \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left( \cos(yz) \right) = e^{-x} \cdot y \cdot (-\sin(yz) \cdot y) = -e^{-x} \cdot y^2 \cdot \sin(yz).
  \end{equation}

b) Derivades mixtes

• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot z,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot z \right) = -e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot z.
  \end{equation}
• $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial z} = e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot y,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot y \right) = -e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot y.
  \end{equation}
• $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}$:
  \begin{equation}
  \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot z,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = e^{-x} \cdot \frac{\partial}{\partial z} \left( z \cdot \cos(yz) \right) = e^{-x} \cdot \left( \cos(yz) + z \cdot (-\sin(yz) \cdot y) \right) = e^{-x} \cdot \left( \cos(yz) – y z \sin(yz) \right).
  \end{equation}
• Derivades mixtes simètriques:
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot z,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = -e^{-x} \cdot \cos(yz) \cdot y,
  \end{equation}
  \begin{equation}
  \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = e^{-x} \cdot \left( \cos(yz) – y z \sin(yz) \right).
  \end{equation}

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Pas 3: Construcció de la matriu Hessiana

La matriu Hessiana és:
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{bmatrix}.
\end{equation}

Substituint les derivades:
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
e^{-x} \sin(yz) & -e^{-x} \cos(yz) z & -e^{-x} \cos(yz) y \\
-e^{-x} \cos(yz) z & -e^{-x} z^2 \sin(yz) & e^{-x} (\cos(yz) – y z \sin(yz)) \\
-e^{-x} \cos(yz) y & e^{-x} (\cos(yz) – y z \sin(yz)) & -e^{-x} y^2 \sin(yz)
\end{bmatrix}.
\end{equation}

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Pas 4: Avaluació en el punt $(0, 1, \pi)$

Avaluem en $x = 0$, $y = 1$, $z = \pi$:

• $e^{-x} = e^{0} = 1$,
• $yz = 1 \cdot \pi = \pi$,
• $\sin(yz) = \sin(\pi) = 0$,
• $\cos(yz) = \cos(\pi) = -1$.

Entrades de la matriu:

1. $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{-x} \sin(yz) = 1 \cdot 0 = 0$.
2. $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -e^{-x} \cos(yz) z = -1 \cdot (-1) \cdot \pi = \pi$.
3. $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} = -e^{-x} \cos(yz) y = -1 \cdot (-1) \cdot 1 = 1$.
4. $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -e^{-x} \cos(yz) z = \pi$.
5. $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -e^{-x} z^2 \sin(yz) = -1 \cdot \pi^2 \cdot 0 = 0$.
6. $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = e^{-x} (\cos(yz) – y z \sin(yz)) = 1 \cdot (-1 – 1 \cdot \pi \cdot 0) = -1$.
7. $\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} = -e^{-x} \cos(yz) y = 1$.
8. $\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} = e^{-x} (\cos(yz) – y z \sin(yz)) = -1$.
9. $\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = -e^{-x} y^2 \sin(yz) = -1 \cdot 1^2 \cdot 0 = 0$.

La matriu Hessiana en $(0, 1, \pi)$ és:
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
0 & \pi & 1 \\
\pi & 0 & -1 \\
1 & -1 & 0
\end{bmatrix}.
\end{equation}

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Resposta final

La matriu Hessiana de la funció $f(x, y, z) = e^{-x} \cdot \sin(yz)$ en el punt $(0, 1, \pi)$ és:
\begin{equation}
\boxed{\begin{bmatrix}
0 & \pi & 1 \\
\pi & 0 & -1 \\
1 & -1 & 0
\end{bmatrix}}
\end{equation}