LEMNISCATA
Matemàtiques
Una proveta d’acer de $20$ mm de diàmetre i $200$ nm de longitud entre punts calibrats està essent sotmesa a un esforç de tracció de $5000$ kg i incrementa la seva longitud en $0.15$ mm. Calcula la tensió unitària, l’allargament unitari i en mòdul d’elasticitat.
Per resoldre aquest problema, hem de calcular la tensió unitària, l’allargament unitari i el mòdul d’elasticitat.
La tensió unitària es calcula amb la fórmula:
$$\sigma = \frac{F}{A}$$
On $A$ és l’àrea de la secció transversal de la proveta (àrea del cercle), que es calcula com:
$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$
Substituint els valors:
$$A = \frac{\pi (0.02)^2}{4} = 3.1416 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$$
Ara podem calcular la tensió unitària:
$$\sigma = \frac{49050 \, \text{N}}{3.1416 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} = 1.561 \times 10^8 \, \text{N/m}^2 = 156.1 \, \text{MPa}$$
L’allargament unitari es defineix com:
$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$
Substituint els valors:
$$\varepsilon = \frac{0.00015 \, \text{m}}{0.2 \, \text{m}} = 0.00075$$
El mòdul d’elasticitat es pot calcular amb la llei de Hooke:
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$
Substituint els valors:
$$E = \frac{1.561 \times 10^8 \, \text{N/m}^2}{0.00075} = 2.081 \times 10^{11} \, \text{N/m}^2 = 208.1 \, \text{GPa}$$