Estructura ortorròmbica. Xarxa cristal·lina

Estructura ortorròmbica. Xarxa cristal·lina
20 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

El gal·li es presenta en una estructura ortorròmbica on $a = 0.45258$ nm, $b = 0.45186$ nm i $c = 0.76570$ nm El seu radi atòmic és $0.1218$ nm, la densitat $5.904$ g/cm$^3$ i la massa atòmica $69.72$ g/mol Determinar el nombre d’àtoms per cel·la unitat i el factor d’empaquetament.

Para determinar el número de átomos por celda unitària i el factor de empaquetament atòmic de l’estructura ortorròmbica del gal·li, seguirem els passos següents:

1. Fórmula de la densitat

La densitat $\rho$ d’un cristall està relacionada amb el nombre d’àtoms per cel·la unitària $n$, la massa atòmica $M$, el volum de la cel·la unitària $V$ i el número d’Avogadro $N_A$ mitjançant la fórmula següent:

$$\rho = \frac{n \cdot M}{V \cdot N_A}$$]

On:

  • $\rho$ és la densitat en $\text{g/cm}^3$,
  • $n$ és el nombre d’àtoms per cel·la unitària,
  • $M$ és la massa atòmica en $\text{g/mol}$,
  • $V$ és el volum de la cel·la unitària en $\text{cm}^3$,
  • $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ és el nombre d’Avogadro en $\text{àtoms/mol}$.

2. Volum de la cel·la unitària ((V))

El volum d’una cel·la ortorròmbica es calcula com:

$$V = a \cdot b \cdot c$$

On $a$, $b$ i $c$ són els paràmetres de xarxa. Els valors donats són:

  • $a = 0.45258 \, \text{nm} = 0.45258 \times 10^{-7} \, \text{cm}$,
  • $b = 0.45186 \, \text{nm} = 0.45186 \times 10^{-7} \, \text{cm}$,
  • $c = 0.76570 \, \text{nm} = 0.76570 \times 10^{-7} \, \text{cm}$.

Ara calculem el volum:

$$V = (0.45258 \times 10^{-7}) \cdot (0.45186 \times 10^{-7}) \cdot (0.76570 \times 10^{-7})$$
$$V = 1.5671 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3$$

3. Substituir els valors a la fórmula de la densitat

Sabem que la densitat del gal·li és:

$$\rho = 5.904 \, \text{g/cm}^3$$

Substituïm els valors coneguts a la fórmula de la densitat:

$$5.904 = \frac{n \cdot 69.72}{1.5671 \times 10^{-22} \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$

Multipliquem el denominador:

$$5.904 = \frac{n \cdot 69.72}{9.4367 \times 10^1}$$

Multipliquem per $94.367$:

$$5.904 \times 94.367 = n \cdot 69.72$$
$$n = \frac{557.23}{69.72} \approx 8$$

Per tant, hi ha $8$ àtoms per cel·la unitària.

4. Factor d’empaquetament atòmic (FEA)

El factor d’empaquetament atòmic (FEA) es defineix com la fracció del volum de la cel·la unitària ocupada pels àtoms. Es pot calcular com:

$$FEA = \frac{\text{Volum ocupat pels àtoms a la cel·la}}{\text{Volum total de la cel·la unitària}}$$

El volum ocupat pels àtoms en una cel·la unitària es calcula com:

$$\text{Volum ocupat} = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$$

On:

  • $n = 8$ és el nombre d’àtoms per cel·la unitària,
  • $r = 0.1218 \, \text{nm} = 0.1218 \times 10^{-7} \, \text{cm}$ és el radi atòmic del gal·li.

Calculem el volum ocupat pels àtoms:

$$\text{Volum ocupat} = 8 \cdot \frac{4}{3} \pi (0.1218 \times 10^{-7})^3$$
$$\text{Volum ocupat} \approx 8 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 1.805 \times 10^{-22}$$
$$\text{Volum ocupat} \approx 8 \cdot 7.571 \times 10^{-22} = 6.057 \times 10^{-21} \, \text{cm}^3$$

Finalment, calculem el FEA:

$$FEA = \frac{6.057 \times 10^{-21}}{1.5671 \times 10^{-22}} \approx 0.3866$$

Això ens dóna un factor d’empaquetament del $38.66\%$.

Resposta final:

  • Nombre d’àtoms per cel·la unitària: $8$
  • Factor d’empaquetament atòmic (FEA): $38.66\%$
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *