LEMNISCATA
Matemàtiques
El gal·li es presenta en una estructura ortorròmbica on $a = 0.45258$ nm, $b = 0.45186$ nm i $c = 0.76570$ nm El seu radi atòmic és $0.1218$ nm, la densitat $5.904$ g/cm$^3$ i la massa atòmica $69.72$ g/mol Determinar el nombre d’àtoms per cel·la unitat i el factor d’empaquetament.
Para determinar el número de átomos por celda unitària i el factor de empaquetament atòmic de l’estructura ortorròmbica del gal·li, seguirem els passos següents:
La densitat $\rho$ d’un cristall està relacionada amb el nombre d’àtoms per cel·la unitària $n$, la massa atòmica $M$, el volum de la cel·la unitària $V$ i el número d’Avogadro $N_A$ mitjançant la fórmula següent:
$$\rho = \frac{n \cdot M}{V \cdot N_A}$$]
On:
El volum d’una cel·la ortorròmbica es calcula com:
$$V = a \cdot b \cdot c$$
On $a$, $b$ i $c$ són els paràmetres de xarxa. Els valors donats són:
Ara calculem el volum:
$$V = (0.45258 \times 10^{-7}) \cdot (0.45186 \times 10^{-7}) \cdot (0.76570 \times 10^{-7})$$
$$V = 1.5671 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3$$
Sabem que la densitat del gal·li és:
$$\rho = 5.904 \, \text{g/cm}^3$$
Substituïm els valors coneguts a la fórmula de la densitat:
$$5.904 = \frac{n \cdot 69.72}{1.5671 \times 10^{-22} \cdot 6.022 \times 10^{23}}$$
Multipliquem el denominador:
$$5.904 = \frac{n \cdot 69.72}{9.4367 \times 10^1}$$
Multipliquem per $94.367$:
$$5.904 \times 94.367 = n \cdot 69.72$$
$$n = \frac{557.23}{69.72} \approx 8$$
Per tant, hi ha $8$ àtoms per cel·la unitària.
El factor d’empaquetament atòmic (FEA) es defineix com la fracció del volum de la cel·la unitària ocupada pels àtoms. Es pot calcular com:
$$FEA = \frac{\text{Volum ocupat pels àtoms a la cel·la}}{\text{Volum total de la cel·la unitària}}$$
El volum ocupat pels àtoms en una cel·la unitària es calcula com:
$$\text{Volum ocupat} = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$$
On:
Calculem el volum ocupat pels àtoms:
$$\text{Volum ocupat} = 8 \cdot \frac{4}{3} \pi (0.1218 \times 10^{-7})^3$$
$$\text{Volum ocupat} \approx 8 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 1.805 \times 10^{-22}$$
$$\text{Volum ocupat} \approx 8 \cdot 7.571 \times 10^{-22} = 6.057 \times 10^{-21} \, \text{cm}^3$$
Finalment, calculem el FEA:
$$FEA = \frac{6.057 \times 10^{-21}}{1.5671 \times 10^{-22}} \approx 0.3866$$
Això ens dóna un factor d’empaquetament del $38.66\%$.