Problema sobre xarxes cristal·lines 6

Calcular la densitat del vanadi (V) si la seva estructura cristal·lina és cúbica centrada en el cos (BCC), el radi atòmic $R=0.132$ nm i el pes atòmic $50.94$ g/mol.

Per calcular la densitat del vanadi (V), utilitzem la següent fórmula general per a la densitat (\(\rho\)) d’un metall en funció de la seva estructura cristal·lina:\[\rho = \frac{n \cdot M}{a^3 \cdot N_A}\]On:

– \(n\) és el nombre d’àtoms per cel·la unitària. Per a una estructura cúbica centrada en el cos (bcc), \(n = 2\).

– \(M\) és el pes atòmic del vanadi (50.94 g/mol).

– \(a\) és la longitud del costat de la cel·la unitària.

– \(N_A\) és el nombre d’Avogadro (6.022 × 10²³ àtoms/mol).

Pas 1: Relació entre el radi atòmic i el paràmetre de cel·la \(a\) En una estructura cúbica centrada en el cos (bcc), la relació entre el radi atòmic \(R\) i el paràmetre de cel·la \(a\) és:\[a = \frac{4R}{\sqrt{3}}\]On \(R\) és el radi atòmic del vanadi, \(R = 0.132 \, \text{nm} = 0.132 \times 10^{-7} \, \text{cm}\).

Pas 2: Calcular el valor de \(a\)\[a = \frac{4 \times 0.132 \times 10^{-7} \, \text{cm}}{\sqrt{3}} \approx 3.048 \times 10^{-8} \, \text{cm}\]

Pas 3: Calcular la densitatSubstituint els valors a la fórmula de la densitat:\[\rho = \frac{2 \cdot 50.94 \, \text{g/mol}}{(3.048 \times 10^{-8} \, \text{cm})^3 \cdot 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}}\]Calculem:\[\rho \approx \frac{101.88 \, \text{g/mol}}{2.835 \times 10^{-22} \, \text{cm}^3 \cdot 6.022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}}\]\[\rho \approx \frac{101.88}{1.707 \times 10^2} \, \text{g/cm}^3\]\[\rho \approx 5.97 \, \text{g/cm}^3\]

Per tant, la densitat del vanadi és aproximadament 5.97 g/cm³.