Planta potabilitzadora. Oleohidràulica

En una planta potabilitzadora es disposa d’una canonada horitzontal amb dues seccions tal com mostra el dibuix, essent els radis de les dues seccions $R_1=10$ mm i $R_2=6$ mm. Per la canonada hi circula un cabal d’aigües residuals de $50$ L/min. Immediatament abans i després de l’estrenyiment connectem dos tubs verticals oberts a l’aire. Calculeu: a) La velocitat a cada secció de la canonada b) La diferència de pressió entre els punts A i B c) La diferència d’alçada $h$ en els dos tubs verticals sent $H= 2$ m Nota: Suposeu que la densitat de l’aigua residual val $1005$ kg/m$^3$ i la de l’aire val $1.3$ kg/m$^3$ i que $g=9.81$ m/s$^2$.

a) Velocitat en cada secció de la tuberia

Per calcular la velocitat de flux en cada secció de la tuberia, utilitzem l’equació de continuïtat:

$$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$$

on:

• $A$ és l’àrea de la secció transversal.
• $v$ és la velocitat en cada secció.

L’àrea de cada secció es calcula com:

$$A_1 = \pi R_1^2$$
$A_2 = \pi R_2^2$$

Calculem les àrees:

$$A_1 = \pi (0,01)^2 = 3,14 \times 10^{-4} \text{ m}^2$$
$$A_2 = \pi (0,006)^2 = 1,13 \times 10^{-4} \text{ m}^2$$

Utilitzem l’equació de continuïtat per trobar les velocitats:

$$v_1 = \frac{Q}{A_1}$$
$$v_2 = \frac{Q}{A_2}$$

Substituint els valors:

$$v_1 = \frac{0,000833 \text{ m}^3/\text{s}}{3,14 \times 10^{-4} \text{ m}^2} \approx 2,66 \text{ m/s}$$

$$v_2 = \frac{0,000833 \text{ m}^3/\text{s}}{1,13 \times 10^{-4} \text{ m}^2} \approx 7,37 \text{ m/s}$$

b) Diferència de pressió entre els punts A i B

Per calcular la diferència de pressió entre els punts A i B, utilitzem l’equació de Bernoulli:

$$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$$

Despejant la diferència de pressió:

$$\Delta P = P_1 – P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 – v_1^2)$$

Substituint els valors:

$$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1005 \text{ kg/m}^3 \times (7,37^2 – 2,66^2)$$

$$\Delta P = 502,5 \times (54,49 – 7,08)$$

$$\Delta P = 502,5 \times 47,41$$

$$\Delta P \approx 23.832,75 \text{ Pa}$$

$$\Delta P \approx 23,83 \text{ kPa}$$

c) Diferència d’alçada en els tubs verticals

La diferència d’alçada $h$ entre els punts A i B es calcula utilitzant la diferència de pressió:

$$\Delta P = \rho_{\text{aigua}} \cdot g \cdot h$$

Despejant $h$:

$$h = \frac{\Delta P}{\rho_{\text{aigua}} \cdot g}$$

Substituint els valors:

$$h = \frac{23.832,75}{1005 \times 9,81}$$

$$h = \frac{23.832,75}{9.855,05}$$

$$h \approx 2,42 \text{ m}$$

Resultats

a) La velocitat en la secció $1$ és aproximadament $2,66$ m/s i en la secció $2$ és aproximadament $7,37$ m/s.

b) La diferència de pressió entre els punts A i B és aproximadament $23,83$ kPa.

c) La diferència d’alçada en els tubs verticals és aproximadament $2,42$ m.