Problema sobre xarxes crsital·lines 5

Considerant els àtoms d’or esferes massisses i rígides de $1,44$ A de ràdio, que en estat sòlid s’empaqueten íntimament a una xarxa FCC, calcula la densitat de l’or. La massa atòmica de l’or és $197$ g/mol

Per calcular la densitat de l’or, suposant que els àtoms es empaqueten en una estructura cúbica centrada en les cares (FCC), seguirem aquests passos:

Pas 1: Relació entre el radi atòmic i la longitud de la cel·la unitària

En una estructura cúbica centrada en les cares (FCC), la relació entre el radi atòmic $r$ i la longitud de la cel·la unitària $a$ és:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$$

Donat que el radi atòmic de l’or és $r = 1,44 \, \text{Å} = 1,44 \times 10^{-8} \, \text{cm}$, la longitud de la cel·la unitària serà:

$$a = \frac{4 \times 1,44 \times 10^{-8} \, \text{cm}}{\sqrt{2}} = \frac{5,76 \times 10^{-8}}{1,414} \, \text{cm} \approx 4,07 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$

Pas 2: Volum de la cel·la unitària

El volum de la cel·la unitària és $a^3$. Per tant, el volum de la cel·la unitària serà:

$$V_{\text{cel·la}} = (4,07 \times 10^{-8} \, \text{cm})^3 = 6,74 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$

Pas 3: Nombre d’àtoms per cel·la unitària en una xarxa FCC

En una xarxa cúbica centrada en les cares (FCC), hi ha $4$ àtoms per cel·la unitària.

Pas 4: Massa d’un àtom d’or

La massa d’un àtom es pot calcular dividint la massa molar de l’or $197 g/mol$ entre el nombre d’Avogadro $N_A = 6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$:

$$\text{Massa d’un àtom} = \frac{197 \, \text{g/mol}}{6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}} = 3,27 \times 10^{-22} \, \text{g/àtom}$$

Pas 5: Massa total dels àtoms en una cel·la unitària

Com que hi ha $4$ àtoms per cel·la unitària, la massa total dels àtoms en una cel·la unitària serà:

$$\text{Massa total en la cel·la} = 4 \times 3,27 \times 10^{-22} \, \text{g} = 1,31 \times 10^{-21} \, \text{g}$$

Pas 6: Càlcul de la densitat

La densitat $\rho$ es defineix com la massa dividida pel volum. Per tant, la densitat de l’or serà:

$$\rho = \frac{\text{Massa total en la cel·la}}{V_{\text{cel·la}}} = \frac{1,31 \times 10^{-21} \, \text{g}}{6,74 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3} \approx 19,44 \, \text{g/cm}^3$$

Resultat:

La densitat de l’or és aproximadament $19,44$ g/cm³.