Problema sobre xarxes crsital·lines 4

1. Sistema cristal·lí hexagonal simple

El sistema cristal·lí hexagonal simple té una cel·la unitat amb una base hexagonal i una alçada $c$. En aquesta estructura:

• Hi ha 1 àtom efectiu per cel·la unitat (després de tenir en compte el compartir d’àtoms entre cel·les veïnes).
• Els àtoms a la base es toquen, de manera que la distància entre àtoms veïns a la base és $a$, i el radi de cada àtom és $r = \frac{a}{2}$.
• La relació $c/a$ determina l’alçada de la cel·la unitat respecte a la distància basal $a$.

L’enunciat ens demana que assumim $c/a \approx 1$, per tant:

$$k = \frac{c}{a} \approx 1 \implies c \approx a.$$

---

2. Volum de la cel·la unitat

L’àrea de la base hexagonal es calcula dividint l’hexàgon en 6 triangles equilàters de costat $a$:

• Àrea d’un triangle equilàter:
  $$\text{Àrea del triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.$$
• Àrea de la base (6 triangles):
  $$\text{Àrea de la base} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2.$$

L’alçada de la cel·la unitat és $c$, i com que $c/a \approx 1$, tenim $c \approx a$. Per tant, el volum de la cel·la unitat és:

$$V_{\text{cel·la}} = \text{Àrea de la base} \times c = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \cdot c.$$

Substituint $c = a$:

$$V_{\text{cel·la}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \cdot a = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3.$$

---

3. Volum ocupat pels àtoms

Els àtoms són esferes dures que es toquen a la base, de manera que el radi de cada àtom és:

$$r = \frac{a}{2},$$

perquè la distància entre centres de dos àtoms veïns a la base és $a = 2r$.

El volum d’un àtom (esfera) és:

$$V_{\text{àtom}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6}.$$

Com que hi ha 1 àtom efectiu per cel·la unitat, el volum total ocupat pels àtoms és:

$$V_{\text{ocupat}} = 1 \times \frac{\pi a^3}{6} = \frac{\pi a^3}{6}.$$

---

4. Factor d’empaquetament atòmic (FEA)

El FEA es defineix com:

$$\text{FEA} = \frac{V_{\text{ocupat}}}{V_{\text{cel·la}}}.$$

Substituint els volums calculats:

$$\text{FEA} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{\frac{3\sqrt{3}}{2} a^3} = \frac{\pi a^3}{6} \cdot \frac{2}{3\sqrt{3} a^3} = \frac{\pi}{9\sqrt{3}}.$$

Aquest resultat coincideix amb la fórmula general que vam obtenir anteriorment:

$$\text{FEA} = \frac{\pi}{9\sqrt{3} k},$$

on $k = c/a$. Com que $c/a \approx 1$, tenim $k = 1$, i per tant:

$$\text{FEA} = \frac{\pi}{9\sqrt{3}}.$$

---

5. Càlcul numèric

Calculem el valor numèric de $\frac{\pi}{9\sqrt{3}}$:

$$\sqrt{3} \approx 1,732,$$

$$9\sqrt{3} \approx 9 \times 1,732 = 15,588,$$

$$\pi \approx 3,1416,$$

$$\frac{\pi}{9\sqrt{3}} \approx \frac{3,1416}{15,588} \approx 0,2015.$$

Per tant, amb $c/a \approx 1$:

$$\text{FEA} \approx 0,2015.$$

Això significa que aproximadament el $20,15\%$ del volum de la cel·la unitat està ocupat pels àtoms.

---

6. Interpretació

El valor del FEA de $0,2015$ per a l’hexagonal simple amb $c/a \approx 1$ és baix, cosa que té sentit perquè l’hexagonal simple no és una estructura compacta. En comparació, l’hexagonal compacte (HCP) té un FEA de 0,74 (74%), molt més alt perquè els àtoms estan empaquetats de manera més eficient.

En l’hexagonal simple, els àtoms només es toquen a la base, i l’alçada $c \approx a$ implica que hi ha molt espai buit al llarg de l’eix $c$, ja que no hi ha plans intermedis d’àtoms com en l’HCP.

---

Resposta final

El factor d’empaquetament atòmic del sistema cristal·lí hexagonal simple amb $c/a \approx 1$ és:

$$\text{FEA} = \frac{\pi}{9\sqrt{3}} \approx 0,2015.$$

$$\boxed{\text{FEA} \approx 0,2015 \quad \text{(per a } c/a \approx 1\text{)}}$$

Això indica que només un 20,15% del volum està ocupat pels àtoms, cosa que reflecteix l’eficiència d’empaquetament relativament baixa d’aquesta estructura.