Problema sobre xarxes cristal·lines 3

La massa atòmica d’un element determinat és $55,8$ g/mol. Sabent que el radi atòmic és $1,24$ A i la seva densitat $7,9$ g/cm$^3$, sabries dir si cristal·litza en una xarxa BCC o FCC?

Per determinar si un element cristal·litza en una xarxa cúbica centrada en el cos (BCC) o cúbica centrada en les cares (FCC), podem comparar les dades proporcionades amb les equacions geomètriques i de densitat corresponents a cada tipus de xarxa cristal·lina. Seguirem aquests passos:

Pas 1: Determinar la relació entre el radi atòmic i la longitud de la cel·la unitària

Xarxa BCC (Body-Centered Cubic)

En una xarxa BCC, la relació entre la longitud de la cel·la unitària $a$ i el radi atòmic $r$ és:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$$

Xarxa FCC (Face-Centered Cubic)

En una xarxa FCC, la relació entre la longitud de la cel·la unitària $a$ i el radi atòmic $r$ és:

$$a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$$

Pas 2: Calcular la longitud de la cel·la unitària per a ambdós tipus de xarxa

Sabem que el radi atòmic és $r = 1,24 \, \text{Å} = 1,24 \times 10^{-8} \, \text{cm}$.

• Per a la xarxa BCC: $$a_{\text{BCC}} = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 1,24 \times 10^{-8} \, \text{cm}}{\sqrt{3}} = 2,86 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$
• Per a la xarxa FCC: $$a_{\text{FCC}} = \frac{4r}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times 1,24 \times 10^{-8} \, \text{cm}}{\sqrt{2}} = 3,51 \times 10^{-8} \, \text{cm}$$

Pas 3: Calcular el volum de la cel·la unitària

El volum de la cel·la unitària per a cada estructura és simplement $a^3$:

• Volum BCC: $$V_{\text{BCC}} = (2,86 \times 10^{-8} \, \text{cm})^3 = 2,34 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$
• Volum FCC: $$V_{\text{FCC}} = (3,51 \times 10^{-8} \, \text{cm})^3 = 4,33 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3$$

Pas 4: Determinar el nombre d’àtoms per cel·la unitària

• A la xarxa BCC, hi ha $2$ àtoms per cel·la unitària.
• A la xarxa FCC, hi ha $4$ àtoms per cel·la unitària.

Pas 5: Calcular la massa total dels àtoms en la cel·la unitària

La massa d’un àtom es pot calcular dividint la massa molar de l’element entre el nombre d’Avogadro $N_A = 6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$:

$$\text{Massa d’un àtom} = \frac{55,8 \, \text{g/mol}}{6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}} = 9,27 \times 10^{-23} \, \text{g/àtom}$$

Aleshores, la massa total dels àtoms en la cel·la unitària serà:

• Per a la xarxa BCC ($2$ àtoms per cel·la unitària): $$\text{Massa total BCC} = 2 \times 9,27 \times 10^{-23} \, \text{g} = 1,85 \times 10^{-22} \, \text{g}$$
• Per a la xarxa FCC ($4$ àtoms per cel·la unitària): $$\text{Massa total FCC} = 4 \times 9,27 \times 10^{-23} \, \text{g} = 3,71 \times 10^{-22} \, \text{g}$$

Pas 6: Calcular la densitat esperada

La densitat $\rho$ és la massa dividida pel volum:

• Densitat BCC: $$\rho_{\text{BCC}} = \frac{1,85 \times 10^{-22} \, \text{g}}{2,34 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3} = 7,91 \, \text{g/cm}^3$$
• Densitat FCC: $$\rho_{\text{FCC}} = \frac{3,71 \times 10^{-22} \, \text{g}}{4,33 \times 10^{-23} \, \text{cm}^3} = 8,57 \, \text{g/cm}^3$$

Pas 7: Comparar amb la densitat real

La densitat real proporcionada és $7,9 \, \text{g/cm}^3$. Comparant:

• La densitat calculada per a l’estructura BCC és $7,91 \, \text{g/cm}^3$, que coincideix molt bé amb la densitat donada.
• La densitat calculada per a l’estructura FCC és més alta $8,57 \, \text{g/cm}^3$ i no coincideix.

Conclusió:

L’element cristal·litza en una estructura BCC (cúbica centrada en el cos).