Problema període orbital i potencial gravitatori HST. Examen extraordinari selectivitat Física. Galícia 2024

La força gravitatoria, \( \mathbf{F_G} \), que exerceix un astre de massa \( M \) sobre un satèl·lit de massa \( m \) que gira al seu voltant en una òrbita de radi \( r \), és una força central, està dirigida cap a l’astre, i es regeix per la llei de Newton de la gravitació universal: \begin{equation} \mathbf{F_G} = – G \frac{M \cdot m}{r^2} \mathbf{u_r} \end{equation} En aquesta expressió, \( G \) és la constant de la gravitació universal, i \( \mathbf{u_r} \) és el vector unitari en la direcció de la línia que uneix l’astre amb el satèl·lit. En mòduls: \begin{equation} F_G = G \frac{M \cdot m}{r^2} \end{equation} En molts casos, la trajectòria del satèl·lit és pràcticament circular al voltant del centre de l’astre. Com que la força gravitatoria és una força central, l’acceleració només té component normal, \( a_N \). En no tenir acceleració tandencial, el mòdul de la velocitat lineal, $v$, en un moviment circular uniforme és constant, ja que no hi ha acceleració tangencial. L’acceleració normal, en un moviment circular uniforme de radi $r$, es determina amb l’expressió:

\begin{equation}
a_N = \frac{v^2}{r}
\end{equation}

Com que la força gravitatoria que exerceix l’astre sobre el satèl·lit és molt més gran que qualsevol altra força, es pot considerar que és l’única que actua:

\begin{equation}
\sum \mathbf{F} = \mathbf{F_G}
\end{equation}

Segons la segona llei de Newton, la força resultant sobre un objecte produeix una acceleració directament proporcional a la força, sent la massa $m$ la constant de proporcionalitat:

\begin{equation}
\sum \mathbf{F} = m \cdot \mathbf{a}
\end{equation}

En mòduls, això s’expressa com:

\begin{equation}
|\sum \mathbf{F}| = m |\mathbf{a}|
\end{equation}

\begin{equation}
F_G = m \cdot a_N
\end{equation}

Substituint l’expressió del mòdul de la força gravitatoria:

\begin{equation}
G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}
\end{equation}

Despejant la velocitat orbital del satèl·lit:

\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}
\end{equation}

a) Càlcul del període orbital

El radi de l’òrbita és:

\begin{equation}
r = R + h = 6,37 \times 10^6 \text{ m} + 5,20 \times 10^5 \text{ m} = 6,89 \times 10^6 \text{ m}
\end{equation}

La velocitat orbital es calcula substituint els valors donats:

\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,97 \times 10^{24} \text{ kg}}{6,89 \times 10^6 \text{ m}}}
\end{equation}

\begin{equation}
v = 7,60 \times 10^3 \text{ m/s}
\end{equation}

El període orbital es calcula a partir de l’expressió de la velocitat lineal en un moviment circular uniforme:

\begin{equation}
v = \frac{2\pi r}{T} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi r}{v}
\end{equation}

\begin{equation}
T = \frac{2 \times 3,14 \times 6,89 \times 10^6 \text{ m}}{7,60 \times 10^3 \text{ m/s}}
\end{equation}

\begin{equation}
T = 5,70 \times 10^3 \text{ s} = 1 \text{ h } 34 \text{ min}
\end{equation}

b) Càlcul del potencial gravitatori

El potencial gravitatori és l’energia potencial per unitat de massa:

\begin{equation}
V = \frac{E_p}{m}
\end{equation}

L’expressió de l’energia potencial en l’òrbita és:

\begin{equation}
E_p = – G \frac{M \cdot m}{r}
\end{equation}

Per tant, el potencial gravitatori és:

\begin{equation}
V = \frac{- G M m}{r m} = – \frac{G M}{r}
\end{equation}

El potencial en l’òrbita serà:

\begin{equation}
V = \frac{-6,67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,97 \times 10^{24} \text{ kg}}{6,89 \times 10^6 \text{ m}}
\end{equation}

\begin{equation}
V = -5,78 \times 10^7 \text{ J/kg}
\end{equation}