Problema camp elèctric. Setembre 2018

Dues partícules carregades $Q_1 = Q_2 = +2 \, \mu \text{C}$ estan situades als punts $Q_1: (1,0)$ i $Q_2: (-1,0)$. Totes les coordenades estan expressades en metres. a) Expressa correctament el valor del camp elèctric en el punt $(0,1)$. b) Quin valor ha de tenir una càrrega $Q_3$ situada en $(0,2)$ perquè una càrrega situada en el punt $(0,1)$ no experimenti cap força neta? c) En el cas anterior, quant val el potencial elèctric resultant en el punt $(0,1)$ a causa de les càrregues $Q_1$, $Q_2$ i $Q_3$?

$$r_A = r_B = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} \, \text{m}$$

$$\alpha = \beta = \arctan\left( \frac{1}{1} \right) = 45^\circ$$

Per simetria, les càrregues són iguals (en mòdul) i les distàncies són iguals. Les components horitzontals són iguals i de sentit contrari, anul·lant-se entre si, quedant com a camp resultant la suma de les dues components verticals que són iguals entre si.

$$\vec{E}C = \vec{E}{A,C} + \vec{E}{B,C} = 2 \cdot (\vec{E}{A,C})$$

$$\vec{E}C = 2 \cdot K \cdot \frac{q}{(r{A,C})^2} \cdot (\sin \alpha \cdot \hat{j})$$

$$\vec{E}_C = 2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot 2 \times 10^{-6} \cdot \left( \sqrt{2} \right)^{-2} \cdot (\sin 45^\circ \cdot \hat{j}) = 1,27 \times 10^4 \hat{j} \, \text{N/C}$$

La condició demanada és:

$$\vec{F}P = \vec{F}{P,1} + \vec{F}{P,2} + \vec{F}{P,3} = 0$$

Suposarem que la càrrega $q$ situada en el punt $P$ és positiva (el resultat és el mateix si suposem que la càrrega és negativa). Les intensitats de les forces creades per les càrregues $1$ i $2$ són iguals (mateixa càrrega i mateixa distància). En descompondre aquestes dues forces, les components horitzontals s’anul·len entre si, quedant com a resultant la suma de les components verticals (en sentit $Y$ positiu). Per tant, la càrrega $3$ ha de realitzar una força en el sentit $Y$ negatiu, que compensi la resultant de les forces $1$ i $2$, de manera que la càrrega $3$ ha de ser positiva. A la mateixa conclusió hauríem arribat si la càrrega situada en $P$ fos negativa (només canviarien els sentits de les forces).

$$|\vec{F}_3| = |(\vec{F}_1)_y| + |(\vec{F}_2)_y| = 2 \cdot |(\vec{F}_1)_y|$$

$$K \cdot \frac{Q_3 \cdot q}{(r_{3,P})^2} = 2 \cdot K \cdot \frac{Q_1 \cdot q}{(r_{1,P})^2} \cdot \cos \alpha \implies Q_3 = 2 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{2})^2} \cdot \sin 45^\circ \implies Q_3 = 1,41 \cdot 10^{-6} \, \text{C}$$

$$V_P = V_{1,P} + V_{2,P} + V_{3,P} = K \cdot \left( \frac{q_1}{r_{1,P}} + \frac{q_2}{r_{2,P}} + \frac{q_3}{r_{3,P}} \right) = 9 \times 10^9 \cdot \left( \frac{2 \times 10^{-6}}{\sqrt{2}} + \frac{2 \times 10^{-6}}{\sqrt{2}} + \frac{1,41 \times 10^{-6}}{1} \right) = 38146 \, \text{V}$$