Problema camp elèctric. Juny 2019

Tres càrregues elèctriques puntuals de valor $1 \, \mu \text{C}$, $-2 \, \mu \text{C}$ i $1 \, \mu \text{C}$ es troben situades en els vèrtexs d’un quadrat de $3$ metres de costat, als punts $(3, 0)$, $(3, 3)$ i $(0, 3)$ respectivament, amb les distàncies expressades en metres. a) Calcula i representa gràficament la intensitat del camp en el punt $(0,0)$. b) Quin és el treball realitzat pel camp sobre una càrrega de $1,5 \, \mu \text{C}$ quan es desplaça des del centre del quadrat fins al punt $(0,0)$?

$$r_{AB} = r_{AD} = 3 \, \text{m}$$
$$r_{AC} = \sqrt{(3)^2 + (3)^2} = \sqrt{18} \, \text{m}$$
$$r_{OB} = r_{OC} = r_{OD} = \sqrt{(1,5)^2 + (1,5)^2} = \sqrt{4,5} \, \text{m}$$

$$\vec{E}{AB} = -K \cdot \frac{q_B}{(r{AB})^2} \, \hat{j} = -9 \times 10^9 \cdot \frac{10^{-6}}{(3)^2} \, \hat{j} = -103 \, \hat{j} \, \text{N/C}$$

$$\vec{E}{AC} = K \cdot \frac{|q_C|}{(r{AC})^2} \cdot (\cos 45^\circ \, \hat{i} + \sin 45^\circ \, \hat{j}) = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{(\sqrt{18})^2} \cdot (\cos 45^\circ \, \hat{i} + \sin 45^\circ \, \hat{j}) = 707,1 \, \hat{i} + 707,1 \, \hat{j} \, \text{N/C}$$

$$\vec{E}{AD} = -K \cdot \frac{q_B}{(r{AD})^2} \, \hat{i} = -9 \times 10^9 \cdot \frac{10^{-6}}{(3)^2} \, \hat{i} = -103 \, \hat{i} \, \text{N/C}$$

Per tant, el camp elèctric total en el punt $A$ és:

$$\vec{E}A = \vec{E}{AB} + \vec{E}{AC} + \vec{E}{AD} = -292,9 \, \hat{i} – 292,9 \, \hat{j} \, \text{N/C}$$

Calculem el potencial electrostàtic en els punts $O$ i $A$.

$$V_O = V_{OB} + V_{OC} + V_{OD} = K \cdot \left( \frac{q_B}{r_{OB}} + \frac{q_C}{r_{OC}} + \frac{q_D}{r_{OD}} \right) = \frac{K}{r} \cdot (q_B + q_C + q_D)$$

$$V_O = \frac{9 \times 10^9}{\sqrt{4,5}} \cdot (1 \times 10^{-6} + (-2 \times 10^{-6}) + 1 \times 10^{-6}) = 0 \, \text{V}$$

$$V_A = V_{AB} + V_{AC} + V_{AD} = K \cdot \left( \frac{q_B}{r_{AB}} + \frac{q_C}{r_{AC}} + \frac{q_D}{r_{AD}} \right) = 9 \times 10^9 \cdot \left( \frac{1 \times 10^{-6}}{3} + \frac{-2 \times 10^{-6}}{\sqrt{18}} + \frac{1 \times 10^{-6}}{3} \right) = 1757,4 \, \text{J}$$

$$(W_{O \to A}) \, F \, \text{elèctrica} = q’ \cdot (V_O – V_A) = 1,5 \times 10^{-6} \cdot (0 – 1757,4) = -2,64 \times 10^{-3} \, \text{J}$$

Per traslladar la càrrega, és necessària una força externa. El treball realitzat per aquesta força queda emmagatzemat en la càrrega traslladada en forma d’energia potencial electrostàtica.