Problema camp elèctric. Juliol 2019

Dues càrregues elèctriques puntuals de valor $1 \mu$C, i $-1 \mu$C, es troben situades als punts $(0; 0,1)$ i $(0; -0,1)$ respectivament, estant les distàncies expressades en m. a) Calcular i representar gràficament la intensitat de camp al punt $(0,1; 0)$. b) Quin és el treball realitzat pel camp sobre una càrrega de $2\mu$C quan es desplaça des del $(0,1; 0)$ fins al punt (0,1; 0,1)$?

Donades les posicions de les càrregues $q_A$ i $q_B$ respecte al punt $C$, la distància des de cada càrrega al punt $C$ és: $$r_{A,C} = r_{B,C} = r = \sqrt{(0,1)^2 + (0,1)^2} = \sqrt{0,02} \, \text{m}$$

L’angle de cada vector de camp respecte a l’eix horitzontal és:

$$\alpha = \beta = \arctan \left( \frac{0,1}{0,1} \right) = 45^\circ$$

Al punt $C$ es dona una situació de simetria. Com que $q_A = q_B$ en mòdul i $r_{A,C} = r_{B,C}$, el mòdul del camp elèctric generat per ambdues càrregues és el mateix. En descompondre el vector, les components horitzontals es cancel·len entre si, ja que són vectors iguals però de sentit contrari. Així, el camp total en $C$ resulta de la suma de les dues components verticals, que també són iguals.

Llavors, el camp elèctric total en $C$ és:

$$\vec{E}C = \vec{E}{A,C} + \vec{E}{B,C} = 2 \cdot (\vec{E}{A,C})_y$$

on:

$$\vec{E}C = -2 \cdot k \cdot \frac{q_A}{(r{A,C})^2} \cdot \cos \alpha \, \hat{j}$$

Substituint els valors:

$$\vec{E}_C = -2 \cdot 9 \times 10^9 \, \frac{1 \times 10^{-6}}{( \sqrt{0,02} )^2} \cdot \sin 45^\circ \, \hat{j}$$

Calculant, obtenim:

$$\vec{E}_C = -6,36 \times 10^5 \, \hat{j} \, \text{N/C}$$

Calculem el potencial gravitatori en ambdós punts:

$$V_C = V_{A,C} + V_{B,C} = K \cdot \left( \frac{q_A}{r_{A,C}} + \frac{q_B}{r_{B,C}} \right) = K \cdot \frac{q}{r} \cdot (1 + (-1)) = 0 \, V$$

$$V_D = V_{A,D} + V_{B,D} = K \cdot \left( \frac{q_A}{r_{A,D}} + \frac{q_B}{r_{B,D}} \right) = K \cdot q \cdot \left( \frac{1}{r_{A,D}} – \frac{1}{r_{B,D}} \right) = 9 \cdot 10^9 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \cdot \left( \frac{1}{0,1} – \frac{1}{\sqrt{0,05}} \right) = 4,975 \cdot 10^4 \, V$$

$$(W_{C \to D}) \, F \, \text{elèctrica} = q’ \cdot (V_C – V_D) = 2 \cdot 10^{-6} \cdot (0 – 4,975 \cdot 10^4) = -9,95 \cdot 10^{-2} \, J$$

Es tracta d’un procés no espontani; és necessària una força externa per traslladar la càrrega. El treball realitzat per aquesta força queda emmagatzemat íntegrament en la càrrega traslladada en forma d’energia potencial electrostàtica.

El resultat és lògic, ja que estem allunyant una càrrega positiva d’una càrrega negativa (que l’atreu) i l’estem acostant a la càrrega positiva (que la repel·leix).