Problema equacions dimensionals

Una partícula de massa m quan es desplaça amb moviment vibratori ho fa de manera que el període temps que triga a donar una vibració ve donat per: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ Quina dimensió té la constant $k$ perquè l’equacióanterior sigui homogènia?

Per tal que l’equació sigui homogènia pel que fa a dimensions, les unitats dels dos costats han de coincidir.

Donat:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Pas 1: Identificar les dimensions de cada terme

Sabem que:

• $T$ és el període i la seva dimensió és $[T]$ (temps).
• $m$ és la massa i la seva dimensió és $[M]$.

Perquè l’equació sigui homogènia, necessitem que les dimensions del costat dret també siguin $[T]$.

Pas 2: Analitzar l’arrel quadrada

L’expressió $\sqrt{\frac{m}{k}}$ ha de tenir la dimensió de temps $[T]$:
$$\left[\sqrt{\frac{m}{k}}\right] = [T]$$

Pas 3: Aïllar la dimensió de $k$

Elevant els dos costats al quadrat, obtenim:
$$\frac{[M]}{[k]} = [T]^2$$

Aleshores:
$$[k] = \frac{[M]}{[T]^2}$$

Conclusió

La dimensió de la constant $k$ és:
$$[k] = [M][T]^{-2}$$

És a dir, $k$ té la dimensió de massa dividida per temps al quadrat.