Problema campo gravitatorio. Septiembre 2016

Problema campo gravitatorio. Septiembre 2016
31 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Camp gravitatori, Física Oscar Alex Fernandez Mora

Un pequeño satélite de masa $4500 \, \text{kg}$ describe una órbita circular alrededor de Saturno, a una altura de $25000 \, \text{km}$ sobre su superficie. a) Hallar el periodo del movimiento orbital del satélite. b) Hallar la energía total del satélite. c) ¿Cómo se puede obtener la velocidad de escape de un planeta?

DATOS:
Masa de Saturno: $M_S = 5,688 \times 10^{26} \, \text{kg}$
Diámetro de Saturno: $D_S = 1,205 \times 10^5 \, \text{km}$

La força gravitatoria del planeta actua com a força centrípeta del moviment del satèl·lit.

$$R = R_p + h = 6,025 \times 10^7 + 2,5 \times 10^7 = 8,525 \times 10^7 \, \text{m}$$

$$\frac{G \cdot M_P \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v_0^2}{R} \Rightarrow v_0 = \sqrt{\frac{G \cdot M_P}{R}} = \sqrt{\frac{6,7 \times 10^{-11} \cdot 5,668 \times 10^{26}}{8,525 \times 10^7}} = 2,11 \times 10^4 \, \text{m/s}$$

$$T = \frac{2 \pi \cdot R}{v_0} = \frac{2 \pi \cdot 8,525 \times 10^7}{2,11 \times 10^4} = 25386 \, \text{s} \approx 7,05 \, \text{h}$$

$$E_m = E_p + E_C = – \frac{G \cdot M_P \cdot m}{R} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = – \frac{G \cdot M_P \cdot m}{2} \cdot R$$

$$= -6,7 \times 10^{-11} \cdot 5,668 \times 10^{26} \cdot 4500^2 \cdot 8,525 \times 10^7 = -1,1 \times 10^{12} \, J$$

La velocidad de escape es la velocidad mínima que debemos suministrar a un cuerpo situado dentro de un campo gravitatorio para escapar de la influencia de éste. La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, de modo que la energía mecánica se conserva. Para que un cuerpo lanzado desde un punto dentro de un campo gravitatorio pueda abandonar éste, el cuerpo debe llegar a un punto suficientemente alejado con energía potencial gravitatoria nula (ya que hemos tomado como referencia potencial 0 un punto suficientemente alejado, el infinito, donde la influencia gravitatoria puede considerarse nula) y con energía cinética nula. Cuando el cuerpo alcanza esta situación su energía mecánica es 0, de modo que aplicando el principio de conservación de la energía mecánica:

$$\frac{G \cdot M \cdot m}{R} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_e^2 = 0 \Rightarrow v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M }{R}}$$

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Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

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