Problema camp elèctric. Juny 2018

Dues càrregues elèctriques puntuals de valor $3$ mC i $-3$ mC es troben situades al pla XY, als punts $(0; 4)$ i $(0; -4)$, respectivament, estant les distàncies expressades en m. a) Calculeu i representeu gràficament la intensitat de camp en $(0; 6)$ i $(6; 0)$. b) Quin és el treball realitzat pel camp sobre un protó quan es desplaça des del punt $(0; 6)$ fins al punt $(6; 0)$?

$$r_{A,C} = 2 \, \text{m}$$

$$r_{B,C} = 10 \, \text{m}$$

$$r_{A,D} = r_{B,D} = r = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} \, \text{m}$$

$$\alpha = \beta = \arctan\left( \frac{4}{6} \right) = 33,7^\circ$$

Punt C
$$\vec{E}C = \vec{E}{A,C} + \vec{E}{B,D} = K \cdot \frac{q_A}{(r{A,C})^2} \cdot ( \hat{j} ) + K \cdot \frac{q_B}{(r_{B,C})^2} \cdot (-\hat{j}) = K \cdot q \cdot \left( \frac{1}{(r_{A,C})^2} – \frac{1}{(r_{B,C})^2} \right) \hat{j}$$

$$\vec{E}_C = 9 \times 10^9 \cdot 3 \times 10^{-3} \cdot \left( \frac{1}{(2)^2} – \frac{1}{(10)^2} \right) \hat{j} = 6,48 \times 10^6 \hat{j} \, \text{N/C}$$

Punt D
En el punt D es dona una situació de simetria, ja que al ser $q_A = q_B$ (en mòdul) i $r_{A,D} = r_{B,D}$, el mòdul del camp elèctric creat per ambdues càrregues és igual, de manera que en fer la descomposició del vector, les components horitzontals s’anul·len entre si (vectors iguals de sentit contrari) i el camp total és la suma de les dues components verticals, que també són iguals.

$$\vec{E}D = \vec{E}{A,D} + \vec{E}{B,D} = 2 \cdot (\vec{E}{A,D})$$

$$= -2 \cdot K \cdot \frac{q_A}{(r_{A,D})^2} \cdot \cos \alpha \hat{j} = -2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot 3 \times 10^{-3} \cdot \frac{1}{(\sqrt{52})^2} \cdot \sin(33,7^\circ) \hat{j}$$

$$\vec{E}_D = -5,76 \times 10^5 \hat{j} \, \text{N/C}$$

Calculem el potencial gravitatori en ambdós punts:

$$V_C = V_{A,C} + V_{B,C} = K \cdot \left( \frac{q_A}{r_{A,C}} + \frac{q_B}{r_{B,C}} \right) = K \cdot q \cdot \left( \frac{1}{r_{A,C}} + \frac{1}{r_{B,C}} \right) = 9 \times 10^9 \cdot 3 \times 10^{-3} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{-1}{10} \right) = 1,08 \times 10^7 \, \text{V}$$

$$V_D = V_{A,D} + V_{B,D} = K \cdot \left( \frac{q_A}{r_{A,D}} + \frac{q_B}{r_{B,D}} \right) = K \cdot q \cdot r \cdot (1 + (-1)) = 0 \, \text{V}$$

$$(W_{C \to D})F \text{ elèctrica} = q’ \cdot (V_C – V_D) = 1,6 \times 10^{-19} \cdot (1,08 \times 10^7 – 0) = 1,728 \times 10^{-12} \, \text{J}$$

Procés espontani. El treball realitzat per la força elèctrica per traslladar la càrrega suposa una disminució de l’energia potencial electrostàtica d’aquesta. El resultat és lògic ja que estem allunyant una càrrega positiva (el protó) d’una altra càrrega positiva i l’estem acostant a la càrrega positiva.