Problema 5

Considera las matrices $$A = \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right) \qquad B = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \qquad C = \left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$$ Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AXB = C^t$, siendo $C^t$ la matriz traspuesta de $C$

En primer lugar resolvemos la ecuación matricial;
$$AXB = C^t$$
$$A^{-1}\cdot AXB \cdot B^{-1} =A^{-1}\cdot C^t \cdot B^{-1}$$
$$X =A^{-1}\cdot C^t \cdot B^{-1}$$

Calculamos $A^{-1}$ , $C^t$ y $B^{-1}$ y hacemos el producto

$$X =\left(\begin{array}{ccc}
-3 & -2 & 4 \\
2 & 1 & -2 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}
\right) \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right)= \boxed{\left(\begin{array}{cc}
3 & -1 \\
-1 & 0 \\
1 & 1\end{array}\right)}$$