Problema 1

Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene como ecuación $y = \displaystyle\frac{2x+2}{1-x}$

El área del trozo bajo la parte curva sería:
$$\int_{-1}^0 \frac{2x+2}{1-x} dx$$

Podemos expresar la integral de la forma:
$$\int_{-1}^0 \frac{2x+2}{1-x} dx = \int_{-1}^0 \frac{2x}{1-x} dx +\int_{-1}^0 \frac{2}{1-x}dx=$$

Realizando el cambio de variable adecuado y substituyendo, obtenemos:

$$=-2+4\ln \left(2\right)$$

El resto del área se puede calcular como la integral bajo la recta que pasa por los puntos $(2,0)$ y $(0,2)$. Habría que calcular la ecuación de la recta y después hacer una suma de integrales (una entre $0$ y $2$, y otra entre $2$ y $3$), teniendo en cuenta que la segunda integral habría que tomarla en valor absoluto (está bajo el eje).
Sin embargo, se puede hacer más fácil: como áreas de triángulos. Basta aplicar $\displaystyle\frac{base\cdot altura}{2}$ y obtendríamos un área de $2\ \mathrm{u^2}$ en el primer triángulo y de $0.5\ \mathrm{u^2}$ en el segundo.

El área total que nos piden es:
$$A = -2 + 4 ln(2) + 2.5 = \fbox{4 ln(2) + 0.5}$$