Problema 4

Considera el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z & = & 0 \\ 2x+\lambda y+z & = & 2 \\ x+y+\lambda z & = & \lambda – 1\end{array}\right.$$

Determina el valor de $\lambda$ para que el sistema sea incompatible.

Expresamos la matriz de los coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A*$)

$$(A|A^*) = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & \lambda & 1\\
1 & 1 & \lambda
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
\lambda-1
\end{array}
\right )$$

$$|A|= \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & \lambda & 1\\
1 & 1 & \lambda
\end{array}
\right | = \lambda^2 -3\lambda+2$$

$$|A|=0 \Longleftrightarrow \lambda^2 -3\lambda+2=0 \Longleftrightarrow \lambda= 1 , \lambda= 2$$

• Si $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2 \Longrightarrow |A| \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=3$
  Como $rang(A*)=3$ y nº incógnitas$=3$, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el Sistema es Compatible Determinado.
• Si $\lambda = 1$, las matrices serían
  $$(A|A^*) = \left(
  \begin{array}{ccc}
  1 & 1 & 1\\
  2 & 1 & 1\\
  1 & 1 & 1
  \end{array}
  \right.
  \left |
  \begin{array}{c}
  0 \\
  2 \\
  0
  \end{array}
  \right)$$

Ya sabemos que para $\lambda = 1$ el $det(A)=0$ (el rango de $A$ no puede ser $3$). Veamos si el rango de $A$ vale $2$:
$$\left|
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 &0\\
2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right | = 0 \Longrightarrow rang(A*)=2$$
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado

• Si $\lambda = 2$, las matrices serían
  $$(A|A^*)= \left(
  \begin{array}{ccc}
  1 & 1 & 1\\
  2 & 2 & 1\\
  1 & 1 & 2
  \end{array}
  \right.
  \left |
  \begin{array}{c}
  0 \\
  2 \\
  1
  \end{array}
  \right)$$

Ya sabemos que para $\lambda = 1$ el $det(A)=0$ (el rango de A no puede ser $3$). Veamos si el rango de $A$ vale $2$:
Tomamos las filas $1$ y $2$; columnas $2$ y $3$
$$\left|
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 &0\\
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A*)=3$$
Se trata de un Sistema Incompatible

Por tanto Sist. Incomp. para $\lambda=2$

Resuelva el sistema para $\lambda = 1$

Resolvemos el sistema para$ \lambda = 1$ (en el apartado anterior hemos visto que es Compatible Indeterminado para $\lambda = 1$).

Las matrices son $$(A|A^*) = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right.
\left |
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)$$

El determinante que daba el rango a la matriz $A$, era el formado tomando las 2 primeras filas y las dos primeras columnas $$\left|
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}
\right | \neq 0$$, por tanto eliminamos la 3ª fila y pasamos la 3ª columna a los términos independientes, quedando:
$$\left.\begin{array}{ccc}
x+y & = & -z \\
2x+y & = & 2-z
\end{array}\right\}$$
Haciendo $z=t$ y resolviendo el sistema $2×2$ obtenemos las soluciones:

$$\left.\begin{array}{ccc}
x = 2 \\
y = -2-t \\
z = t\end{array}\right\}$$

(con $t\in R$).