Problema 3

Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones $$\left\{ \begin{array}{lll}x+y &=&2\\2x+y+z&=&7\end{array}\right.$$

Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $A$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta nos valdrá como vector normal del plano.
Dado que tenemos un punto por donde pasa y su vector normal, podemos determinar la ecuación del plano.

En primer lugar hallamos el vector director de la recta (mediante alguno de los procedimientos descritos en los apuntes. Usaremos este: obtenemos un par de puntos de la recta y a partir de ellos el vector director

Si$ x=0 \longrightarrow y=2$ (en la 1ª ecuación)
$2 \cdot 0 + 2 + z = 7 \longrightarrow z=5$ (en la 2ª ecuación)
El primer punto sería $(0,2,5)$

Si $y=0 \longrightarrow x=2$ (en la 1ª ecuación)
$2 \cdot 2 + 0 + z = 7 \longrightarrow z=3$ (en la 2ª ecuación)
El segundo punto sería $(2,0,3)$

El vector director de la recta será $(2,-2,-2)$, por tanto el plano tendrá como ecuación $2x -2y-2z+D=0$

Ahora le hacemos pasar por el punto $A(1,-2,1)$ y obtenemos el valor de $D$
$$2 \cdot 1 -2 \cdot (-2) -2 \cdot 1+D=0$$
$$2+4 -2+D=0 \longrightarrow D=-4$$

Ecuación del plano que nos piden: $2x -2y-2z-4=0$
que se puede simplificar, quedando $\fbox{x -y-z-2=0}$

Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r$