Problema d’optimització

Para fabricar un depósito cilíndrico de 10 metros cúbicos de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2$ € y el del lateral es de $15$ €

Tendremos que utilizar las fórmulas del área y del volumen de un cilindro. Sean $r$ el radio y $h$ su altura.

El volumen se calcula fácilmente multiplicando el área de la base (que es un círculo) por su altura: volumen de un cilindro de altura $h$ y radio $r$:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{V = S_{base}\cdot h = \pi\cdot r^2\cdot h}
\end{equation}

El área de la superficie es el área de las bases más el área del lateral. Como las bases son dos círculos de radio $r$, sus áreas suman:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{A = 2\cdot\pi\cdot r}
\end{equation}

El lateral es un rectángulo de altura $h$ y cuya base coincide con el perímetro de la base del cilindro, así que su área es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{A_L = h\cdot2\cdot\pi\cdot r}
\end{equation}

Por tanto, el área total del cilindro es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{A = 2\cdot\pi \cdot r^2 + 2\cdot\pi\cdot h\cdot r = 2\cdot\pi\cdot r\cdot(r+h)}
\end{equation}

Como los precios de los materiales del cilindro son por metro cuadrado, la unidad de medida que utilizaremos será el metro.

La capacidad del cilindro debe ser $10000\ \text{litros}$.Sabiendo que un litro equivale a $1\ dm^3$, la capacidad ha de ser de $10000\ dm^3$. Es decir:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{10000\ dm^3 = 10\ m^3}
\end{equation}

Igualamos el volumen del cilindro a su capacidad:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\pi\cdot r^2\cdot h = 10}
\end{equation}

El precio del material es de $2$ euros por metro cuadrado de base. Como hay dos bases, la cantidad asciende a:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{2\cdot(2\cdot\pi\cdot r^2) = 4\cdot\pi\cdot r^2}
\end{equation}

Y como el precio del lateral es de $15$ euros por metro cuadrado, éste asciende a:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{15\cdot(2h\pi r) = 30h\pi r}
\end{equation}

Luego la función precio del depósito es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P = 30\pi hr+4\pi r^2}
\end{equation}
Podemos escribir $h$ en función de $r$:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\pi r^2h=10}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{h=\frac{10}{\pi r^2}}
\end{equation}

Así, la función es:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P(r) = 30\pi hr + 4\pi r^2 = \frac{300}{r} + 4\pi r^2}
\end{equation}

Derivamos la función:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P'(r) = -\frac{300}{r^2}+8\pi r}
\end{equation}

Igualamos la función anterior a $0$ y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P'(r) = 0 \longrightarrow -\frac{300}{r^2}+8\pi r = 0 \longrightarrow r^3 = \frac{300}{8\pi}}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\boxed{r} = \sqrt[3]{\frac{300}{8\pi}} \cong
\boxed{2.29}}
\end{equation}

Ahora estudiaremos el signo de la derivada en cada intervalo. Nosotros escogemos los puntos $r=1$ y $r=3$

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P'(1) \cong-279.9<0} \end{equation} \begin{equation} \textcolor{blue}{P'(3) \cong42.1>0}
\end{equation}

Luego la función tiene un mínimo en $r = 2.29$, por tanto, el radio debe de medir $2.29\ \text{m}$ y la altura

\begin{equation}
\textcolor{blue}{h = \frac{10}{\pi r^2} = \frac{10}{\pi\cdot2.29^2} \cong0.607\ m}
\end{equation}

El precio del depósito nos lo proporciona la función:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{P(2.29) = \frac{300}{2.29}+4\pi\cdot2.29^2\cong196.9}
\end{equation}

El precio del depósito es de $196.9$ €