Problema d’optimització

Les pàgines d’un llibre han de tenir cada una $\boldsymbol{600}$ cm$\boldsymbol{^2}$ de superfície, amb uns marges al voltant del text de $\boldsymbol{2}$ cm a la part inferior, $\boldsymbol{3}$ cm a la part superior i $2$ cm a cada costat. Calculeu les dimensions de la pàgina que permeten la superfície impresa més gran possible.

Si anomenem $x$ l’amplada i $y$ l’alçada de les pàgines, l’enunciat ens diu que la superfície de la pàgina ha de ser de $600$ cm$^2$, és a dir que $x\cdot y=600$.

Per tant, podem expressar l’alçada en funció de l’amplada,

\begin{equation}
\textcolor{black}{y=\frac{600}{x}}
\end{equation}

L’amplada de l’àrea impresa serà, després de restar els marges laterals, $x-4$.

L’alçada de l’àrea impresa serà, després de restar els marges superior i inferior, $y-5$.

Per tant, la superfície a maximitzar és:

\begin{equation}
\textcolor{black}{A(x,y) = (x-4)\cdot(y-5)}
\end{equation}

Quan substituïm la $y$ a l’expressió de $S$ obtenim la superfície:
\begin{equation}
\textcolor{black}{S(x) = (x-4)\cdot(\frac{600}{x}-5) = (600-5x-\frac{2400}{x}+20)}
\end{equation}
Ordenat ens queda com:
\begin{equation}
\textcolor{black}{S(x)= 620-5x-\frac{2400}{x}}
\end{equation}

Per a maximitzar S calculem primer les dues primeres derivades.
\begin{equation}
\textcolor{black}{S'(x)= -5+\frac{2400}{x^2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\textcolor{black}{S”(x)= -\frac{4800}{x^3}}
\end{equation}

Els candidats a màxim seran els punts que anul·lin la derivada primera, $S'(x) = -5+\frac{2400}{x^2}$, és a dir:
\begin{equation}
\textcolor{black}{S'(x)= -5+\frac{2400}{x^2}= 0\longrightarrow x= \sqrt{\frac{2400}{5}} = \sqrt{480}= 4\sqrt{30}}
\end{equation}
(Observem que els valors negatius de x no tenen sentit per al problema.)
Per a comprovar que a $4\sqrt{30}$ hi ha efectivament un màxim, substituïm el valor a la derivada segona
\begin{equation}
\textcolor{black}{S”(x) = -\frac{4800}{x^3} \longrightarrow S”(4\sqrt{30}) = -\frac{4800}{(4\sqrt{30})^3}>0}
\end{equation}

Per tant, l’amplada que maximitza l’àrea impresa és:

\begin{equation}
\textcolor{black}{\boxed{x}= 4\sqrt{30}\cong \boxed{21.91\ \text{cm}}}
\end{equation}

L’alçada que li correspon serà:

\begin{equation}
\textcolor{black}{\boxed{y}= \frac{600}{ 4\sqrt{30}} = 5\sqrt{30}\cong \boxed{27.39}}
\end{equation}