Problema d’optimització sobre l’ozó

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función $C(x) = 90 + 15x − 0,6x^2$, donde $x$ es el tiempo transcurrido desde $1$ de enero de $1990$ contado en años. ¿Hasta que año está creciendo la concentración de ozono? ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?

Derivando la función

\begin{equation}
C(x) = 90 + 15x − 0,6x^2
\end{equation}

e igualando a cero obtenemos:

\begin{equation}
C'(x)=15-1.2x\longrightarrow C'(x)=15-1.2x=0\longrightarrow x=\frac{15}{1.2}=12.5
\end{equation}

Comprobamos a través del criterio de la segunda derivada que es un máximo, ya que

\begin{equation}
C”(x)=-1.2<0
\end{equation}

La concentración de ozono contaminante ha estado creciendo hasta $12.5$ años
después, es decir, hasta el $30$ de junio de $2002$.
La concentración máxima ha sido:

\begin{equation}
\boxed{C(12.5)}=90+15\cdot12.5-0.6\cdot12.5^2=\boxed{183.75\ \frac{\mu g}{m^3}}
\end{equation}