Problema 2

Considera la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle\frac{x^2+3x+4}{2x+2}$ para $x \neq -1$

Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$.

Asíntotas VERTICALES (AV)

En las funciones racionales buscamos las asíntotas verticales en los números que anulan el denominador.

$2x+2=0 \Rightarrow 2x=-2 \Rightarrow x=-1$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \frac{(-1)^2+3 \cdot (-1)+4}{2 \cdot (-1)+2} = \frac{2}{0}$

Indeterminación que se resuelve tomando límites laterales
Este tipo de límites tienden a infinito por lo que tenemos una asíntota vertical en $\boxed{x=-1}$

El enunciado nos pide, además de calcular las asíntotas, que las estudiemos por lo que debemos estudiar el comportamiento de la función respecto a la asíntota

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1^{-}} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = -\infty$
(basta con sustituir x por números cercanos a $-1$ por la izquierda , por ejemplo $-1.001$)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1^{+}} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = +\infty$
(basta con sustituir x por números cercanos a $-1$ por la izquierda , por ejemplo $-0.999$)

Asíntotas HORIZONTALES (AH)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+3x+4}{2x+2} = \infty$

Como se obtiene un infinito (grado numerador > grado denominador) no hay asíntotas horizontales.

Asíntotas OBLICUAS (AO)

Al no haber asíntotas horizontales, puede haber asíntota oblicua.
La asíntota oblicua de una función $f(x)$ es una recta de ecuación $y=mx+n$ , donde $m$ y $n$ vienen dadas por las expresiones siguientes:

$m = \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$
$n = \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[f(x) -mx\right]$

$m = \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^2+3x+4}{2x+2}}{x}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+3x+4}{2x^2+2x}=\frac{1}{2}$

$n = \displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{x^2+3x+4}{2x+2} -\frac{x}{2} \right] = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{4x+8}{4x+4}=1$

Por tanto la asíntota oblicua es:
$$y = \frac{1}{2}x+1$$

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$

Para estudiar la monotonía de la función debemos resolver la ecuación $f'(x)=0$

$f'(x)=\displaystyle\frac{(2x+3) \cdot (2x+2) – (x^2+3x+4) \cdot 2}{(2x+2)^2}$
$f'(x)=\displaystyle\frac{4x^2+4x+6x+6-2x^2-6x-8}{(2x+2)^2}$
$f'(x)=\displaystyle\frac{2x^2+4x-2}{(2x+2)^2}$

$f'(x)=0 \longrightarrow \frac{2x^2+4x-2}{(2x+2)^2}=0 \longrightarrow 2x^2+4x-2=0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones:
$x= -1 \pm \sqrt{2}$

Esas soluciones y el punto ($x=-1$) donde no hay función nos dividen la recta real en varios intervalos

$$\begin{array}{c|c|c|c}
(-\infty,-1-\sqrt{2}) & (-1-\sqrt{2},-1) & (-1, -1+\sqrt{2}) & (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\
\hline
& & & \\
\end{array}$$

Debemos comprobar el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos.
Cuando sea positivo la función CRECE y cuando sea negativo DECRECE

• $f'(-3)=\displaystyle\frac{2 \cdot (-3)^2+4 \cdot (-3) -2}{(2 \cdot (-3)+2)^2} >0 \Rightarrow$ CRECE
• $f'(-2)=\displaystyle\frac{2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2) -2}{(2 \cdot (-2)+2)^2} <0 \Rightarrow$ DECRECE
• $f'(0)=\displaystyle\frac{2 \cdot 0^2+4 \cdot 0 -2}{(2 \cdot 0+2)^2} <0 \Rightarrow$ DECRECE
• $f'(3)=\displaystyle\frac{2 \cdot 3^2+4 \cdot 3 -2}{(2 \cdot 3+2)^2} >0 \Rightarrow$ CRECE

$$\begin{array}{c|c|c|c}
(-\infty,-1-\sqrt{2}) & (-1-\sqrt{2},-1) & (-1, -1+\sqrt{2}) & (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\
\hline
\nearrow & \searrow & \searrow & \nearrow \
\end{array}$$