Problema geometria

Calculeu les equacions paramètriques de la recta que passa per l’origen de coordenades i talla les rectes:
$$r: x = 2y = z-1, \qquad s:3x = 2y =-2 = 6z$$

Les rectes $r$ i $s$ en forma paramètrica valen:

$$r:\left\{\begin{array}{ccc}x& =& 2t\\
y&=&t\\
z&=&1+2t\end{array}\right. \qquad s:\left\{\begin{array}{ccc}x& =& \frac{2s-2}{3}\\
y&=&s\\
z&=&\frac{2s-2}{6}\end{array}\right.$$

Sigui $v=(a,b,c)$ el vector director de la recta cercada. Com que la recta que busquem talla a $r$, tenint en compte que el vector director de la recta $r$ és $(2,1,2)$, que la recta passa per l’origen i que $(0,0,1)$ és un punt de la recta $r$, el determinant serà nul:

$$\begin{vmatrix}0&2&a\\ 0&1&b\\ 1&2&c\end{vmatrix} = -a+2b = 0$$

De la mateixa manera, com que la recta que busquem talla a $s$, tenint en compte que el vector director de la recta $s$ és $(\frac{2}{3},1,\frac{1}{3})$, que la recta que passa per l’origen i que $(\frac{-2}{3},0,\frac{-1}{3})$ és un punt de la recta $s$, el determinant següent serà nul:

$$\begin{vmatrix}\frac{-2}{3}&\frac{2}{3}& a\\
0&1& b\\
\frac{-1}{3}&\frac{1}{3}&c\end{vmatrix} = \frac{a}{3}-\frac{2c}{3}= 0$$

Resolent el sistema d’equacions trobat pels valors $a$, $b$ i $c$, obtenim:

$$\left.\begin{array}{ccc}-a+2b&=&0\\ \frac{a}{3}-\frac{2c}{c}&=&0\end{array}\right\}\Longrightarrow b = \frac{a}{2}, \qquad c = \frac{a}{2}$$

Agafant $a = 2$, tenim que un vector director de la recta buscada serà $(2,2,1)$. Les equacions paramètriques de la recta buscada són:

$$\left.\begin{array}{ccc}x&=&2t\\ y&=&t\\ z&=&t\end{array}\right\}$$