Problema 4. Matemàtiques II Juny 2011

Considereu el sistema d’equacions següent: $$\begin{cases}x + 2y – az = -3 \\2x + (a – 5)y + z = 4a + 2 \\4x + (a – 1)y – 3z = 4\end{cases}$$ a) Calculeu els valors del paràmetre ( a ) perquè el sistema no sigui compatible determinat. b) Hi ha algun valor de $a$ per al qual $x = 1$, $y = -3$, $z = -1$ sigui l’única solució del sistema?

Considerem el sistema d’equacions següent:

$$\begin{cases}
x + 2y – az = -3 \\
2x + (a – 5)y + z = 4a + 2 \\
4x + (a – 1)y – 3z = 4
\end{cases}$$

Apartat a)

Per tal que el sistema no sigui compatible determinat, el determinant de la matriu de coeficients ha de ser zero, ja que això implicaria que el sistema és compatible indeterminat (infinites solucions) o incompatible (cap solució).

La matriu de coeficients és:

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -a \\
2 & a – 5 & 1 \\
4 & a – 1 & -3
\end{pmatrix}$$

Calculem el determinant d’aquesta matriu, $\Delta$, i trobem els valors de $a$ per als quals $\Delta = 0$.

Apartat b)

Per trobar si hi ha algun valor de $a$ tal que $x = 1$, $y = -3$, $z = -1$ sigui l’única solució del sistema, substituirem aquests valors en el sistema per veure si és possible trobar un valor de $a$ que satisfaci totes les equacions. Després, verificarem si aquest valor de $a$ fa que el sistema sigui compatible determinat, assegurant que la solució és única.

Procedim amb els càlculs.

1. Apartat a): El determinant de la matriu de coeficients és: $$\Delta = 2a^2 – 22a + 36$$ Perquè el sistema no sigui compatible determinat, cal que el determinant sigui zero. Resolent l’equació $\Delta = 0$, obtenim els valors de $a$ següents: $$a = 2 \quad \text{i} \quad a = 9$$ Així, el sistema no serà compatible determinat quan $a = 2$ o $a = 9$.
2. Apartat b): Si substituïm $x = 1$, $y = -3$, i $z = -1$ en el sistema, trobem que per a $a = 2$, aquestes coordenades satisfan totes les equacions. Per tant, quan $a = 2$, $x = 1$, $y = -3$, i $z = -1$ és una solució del sistema. En aquest cas, el sistema no és compatible determinat, sinó compatible indeterminat, cosa que significa que hi ha infinites solucions. Per tant, no existeix un valor de $a$ per al qual $x = 1$, $y = -3$, $z = -1$ sigui l’única solució del sistema.