Problema 4 Sèrie 4. Matemàtiques II Juny 2011

Analitzeu, segons els valors del paràmetre $k$, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d’equacions següent: $$\begin{cases}2x + y – z = k – 4 \\ (k – 6)y + 3z = 0 \\(k + 1)x + 2y = 3\end{cases}$$

La matriu del sistema és quadrada, amb la següent matriu de coeficients:

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 \\
0 & k – 6 & 3 \\
k + 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}$$

Per determinar el caràcter del sistema, calculem el determinant de la matriu:

$$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \ 0 & k – 6 & 3 \ k + 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = 3(k + 1) – \left[-(k + 1)(k – 6) + 12\right]$$

Desenvolupem el càlcul:

$$= 3(k + 1) – \left[(k + 1)(k – 6) – 12\right] = k^2 – 2k – 15$$

Ara busquem els valors de $k$ que fan que aquest determinant sigui zero:

$$k^2 – 2k – 15 = 0$$

Resolent l’equació, trobem que:

$$k = -3 \quad \text{o} \quad k = 5$$

Anàlisi amb Escalonament de la Matriu

També podem analitzar el sistema escalonant la matriu ampliada del sistema:

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & k – 4 \\
0 & k – 6 & 3 & | & 0 \\
k + 1 & 2 & 0 & | & 3 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & k – 4 \$
0 & k – 6 & 3 & | & 0 \$
0 & 3 – k & k + 1 & | & 10 + 3k – k^2 $\
\end{pmatrix}$$

Aquest escalonament ens ajudarà a veure si hi ha solucions úniques, infinites o cap per a valors particulars de $k$, i a establir si el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible segons el valor de $k$.

A partir d’aquí, l’escalonament es fa molt feixuc. Per això, la millor manera de continuar és determinar per a quins valors de $k$ les files segona i tercera de la matriu sense ampliar són proporcionals. Això ens ajudarà a trobar els valors de $k$ on el sistema no és compatible determinat.

En aquest cas, plantegem la proporcionalitat entre les files:

$$\frac{k – 6}{3 – k} = \frac{3}{k + 1} \implies k = -3 \quad \text{o} \quad k = 5$$

D’aquesta manera, obtenim:

• Si $k \neq -3$ i $k \neq 5$, el rang de la matriu del sistema és 3 i el de la matriu ampliada també és 3. Així, en aquest cas, el sistema és compatible determinat.
• Quan $k = -3$, escalonem la matriu ampliada del sistema:

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & -7 \\
0 & -9 & 3 & | & 0 \\
-2 & 2 & 0 & | & 3 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & -7 \\
0 & -3 & 1 & | & 0 \\
0 & 3 & -1 & | & -4 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & -7 \\
0 & -3 & 1 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & -4 \\
\end{pmatrix}$$

Aquí, el rang de la matriu de coeficients $A$ és $2$, mentre que el rang de la matriu ampliada $A|b$ és $3$, de manera que el sistema és incompatible.

• Finalment, per $k = 5$, escalonem la matriu ampliada:

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & -1 & 3 & | & 0 \\
6 & 2 & 0 & | & 3 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & -1 & 3 & | & 0 \\
0 & -1 & 3 & | & 0 \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & -1 & 3 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{pmatrix}$$

Aquí, el rang de $A$ i de $A|b$ és $2$, i per tant, $\text{rang} (A) = \text{rang} (A|b) = 2 < 3$, de manera que el sistema és compatible indeterminat.

Observem que, si ja s’ha escalonat la matriu, l’estudi dels casos $k = -3$ i $k = 5$ es simplifica, substituint directament el valor de $k$ en la matriu ja mig escalonada.