Problema 4 examen Matemàtiques CCSS 04.06.2020

Calcule la ecuación de la recta tangente a $y=\frac{1}{x-1}$ en el punto de abcisa $x=2$

La recta tangente en $x=2$ viene dada por la fórmula:
$$y-y(2) = y'(2) (x-2)$$
Si la aplicamos a la función $y=\frac{1}{x-1}$ debemos calcular antes: $y(2)=\frac{1}{2-1} =1$
$$y'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2} \longrightarrow y'(2)=\frac{-1}{(2-1)^2}=-1$$
Por tanto quedaría:
$$y-1 = (-1) (x-2)$$

¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x)=2x^2+3x+1$, la recta tangente es paralela a $y=3x-5$?

Nos están pidiendo un punto “$a$” donde la tangente es paralela a $y=3x-5$, es decir, donde la tangente tenga pendiente $3$, es decir, un punto “$a$” donde la derivada valga $3$.

Recordemos que:

• dos rectas son paralelas cuando tengan la misma pendiente
• la derivada es la pendiente de la recta tangente

$$f'(a)=3$$
$$4a+3=3$$
$$4a=0$$
$$a=0$$
El único punto es $a=0$

Sea $g(x)=2x^2-8x+a$. Halle $a$ para que el valor mínimo de $g$ sea $3$

$$g(x)=2x^2-8x+a$$
$$g'(x)=4x-8$$

Los extremos (máximos y mínimos) se encuentran en los puntos que anulan la 1ª derivada.
$$g'(x)=0 \longrightarrow 4x-8=0 \longrightarrow x=2$$
Como $g”(2)>0$ tenemos que hay un mínimo en $x=2$
El enunciado nos pide que el valor del mínimo sea $3$, entonces tiene que ser $g(2)=3$
$$2\cdot 2^2-8 \cdot 2+a=3
-8+a=3 \longrightarrow \fbox{a=11}$$