Problema 1 Examen Matemàtiques CCSS 04.06.2020

Determine los valores de $x$ e $y$ que hacen cierta la igualdad
$$\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1\\3 & -1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
x
\\ -y
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc}
1 & x
\\ y & -1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
3
\\ 0
\end{array}
\right)$$

Hacemos los productos de matrices (a izquierda y derecha del signo igual) y obtenemos:
$$\left(\begin{array}{c} 2x+y \\ 3x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3y\end{array}\right)$$
Ante una igualdad de matrices, igualamos elemento a elemento
$$\left.\begin{array}{c} 2x+y = 3 \\ 3x+y = 3y\end{array}\right\}$$
Hemos obtenido un sistema de $2×2$, que ordenamos y resolvemos
$$\left.\begin{array}{c} 2x+y = 3 \\ 3x-2y = 0\end{array}\right\}$$
Se obtienen como soluciones $x=\frac{6}{7}$ ; $y=\frac{9}{7}$

Resuelva la ecuación matricial $$X \cdot\left(\begin{array}{cc}1 & 3\\ 2 & 5\end{array}\right) – 2 \cdot\left(\begin{array}{cc}0 & -1\\ -1 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\ 3 & -1\end{array}\right)$$

$$X=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\end{array}\right)$$
La ecuación matricial quedaría:
$$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right) – 2 \cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right)$$
Realizamos las operaciones a izquierda del signo igual y obtenemos:$$\left(\begin{array}{cc} a+2b & 3a+5b+2 \\ c+2d+2 & 3c+5d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right)$$
Ante una igualdad de matrices igualamos elemento a elemento y obtenemos:

$$\left\{\begin{array}{ccc}a+2b&=&1\\
3a+5b+2&=&2\\
c+2d+2&=&3\\
3c+5d&=&-1\end{array}\right.$$
Hemos obtenido dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas (uno con las incógnitas $a$ y $b$ y otro con las incógnitas $c$ y $d$.
Ordenamos y resolvemos ambos sistemas, obteniendo como soluciones:
$$\fbox{a=-5}$$
$$\fbox{b=3}$$
$$\fbox{c=-7}$$
$$\fbox{d=4}$$