Problema 1A. Exame EBAU. Convocatoria ordinaria

Un estudiante gastó 57 euros n’una papelería na compra d’un llibru, una calculadora y un estoxu. Sabemos que’l llibru cuesta’l doble que’l total de la calculadora y l’estoxu xuntos.

a) ¿Ye posible determinar de forma única’l preciu del llibru? ¿Y el de la calculadora?
b) Amás, si los precios del llibru, la calculadora y l’estoxu fueren, respectivamente, un 50 %, un 80 % y un 75 % de los precios iniciales de cada artículu, l’estudiante pagaría un total de 34 euros. Calcula’l preciu inicial de cada artículu.

a) Sía $x$ el preciu del llibru, sía $y$ el preciu de la calculadora y sía $z$ el preciu del estoxu.
Los trés artículos valen $57$ euros:

$$x+y+z=57$
El llibru cuesta’l doble que’l total de la calculadora y l’estoxu xuntos:

$$x=2(y+z)$$
Tenemos asina un sistema de $2$ ecuaciones con $3$ variables:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=57\\ x-2y-2z&=0\end{array}\right.$$
Teniendo en cuenta’l teorema de Rouché-Fröbenius, cuidao que la matriz de coeficientes $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\end{pmatrix}$ nun puede tener rangu $3$ siendo $n=3$, entós el sistema nun puede ser compatible determináu, esto ye, non puede tenese el preciu de forma única nin del llibru, nin de la calculadora, nin del estoxu.

b) Colos descuentos mentaos llogramos:

$$0.5x+0.8y+0.75z=34\qquad\overset{\cdot10}\longrightarrow\qquad5x+8y+7.5z=340$$
y el sistema ye:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=57\\ x-2y-2z&=0\\ 5x+8y+7.5z&=340\end{array}\right.$$
Calculamos el rangu de la matriz de coeficientes:

$$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\5&8&7.5\end{vmatrix}=-15-10+8+10-7.5+16=1.5$$
Depués el rangu de la matriz de coeficientes ye $3$ y el sistema ye compatible determináu cuidao que el rangu de la matriz ampliada ye $3$ tamién.
Calculamos la solución del sistema usando la riegla de Cramer:

$$x=\dfrac{\begin{vmatrix}57&1&1\\0&-2&-2\\340&8&7.5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\5&8&7.5\end{vmatrix}}=\dfrac{-855-680+680+912}{1.5}=38$$
$$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&57&1\\1&0&-2\\5&340&7.5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\5&8&7.5\end{vmatrix}}=\dfrac{-570+340-427.5+680}{1.5}=15$$
$$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&57\\1&-2&0\\5&8&340\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-2&-2\\5&8&7.5\end{vmatrix}}=\dfrac{-680+456+570-340}{1.5}=4$$
El llibru cuesta $38$ €, la calculadora $15$ € y l’estoxu $4$ €.