PROBLEMA 1 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN 2020

Dau lo siguient sistema d’equacions:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y+(m+1)z&=2\\ x+(m-1)y+2z&=1\\2x+my+z&=-1\end{array}\right.$$
Discuta lo sistema seguntes las valors de $m\in\mathbb R$.

Discutimos lo sistema utilizando lo teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos las matrices de coeficients y enamplada:

$$M=\begin{pmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{pmatrix}\qquad M^=\begin{pmatrix}1&1&m+1&2\\1&m-1&2&1\\2&m&1&-1\end{pmatrix}$$
Calculamos lo rango d’a matriz $M$:

$$\begin{align}\begin{vmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{vmatrix}=m-1+4+m(m+1)-2(m+1)(m-1)-1-2m=\\=m+2+m^2+m-2(m^2-1)-2m=2-m^2+2=4-m^2\end{align}$$
Determinant que s’anula pa $m=\pm2$.

• Si $m\neq2\text{ y }m\neq-2$, alavez $rg(M)=3=rg(M)=n$ y lo sistema ye compatible determinau.
• Si $m=2$, alavez $M=\begin{pmatrix}1&1&3\\1&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}$ que lo suyo rango ye $2$ ya que $\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=2-3\neq0$. Calculamos lo rango d’a matriz enamplada: $$\begin{vmatrix}1&3&2\\1&2&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=-2+6+2-8+3-1=0$$ Dimpués, $rg(M)=2$ y lo sistema ye compatible indeterminau.
• Si $m=-2$, alavez $M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-3&2\\2&-2&1\end{pmatrix}$ que lo suyo rango ye $2$ ya que $\begin{vmatrix}1&1\\1&-3\end{vmatrix}=-3-1\neq0$. Calculamos lo rango d’a matriz enamplada: $$\begin{vmatrix}1&1&2\\1&-3&1\\2&-2&-1\end{vmatrix}=3+2-4+12+1+2=16\neq0$$ Dimpués, $rg(M)=3$ y lo sistema ye incompatible.