PROBLEMA 2 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN 2020

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&0&1\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$:

a) Calcule, si ye posible, $(A\cdot B^t)^{-1}$.
b) Comprebe que, $C^3=I$, an $I$ ye la matriz identidat, y calcule $C^{16}$.

a) En primer puesto calculamos $A\cdot B^t$:

$$A\cdot B^t=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1\\2&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&0\end{pmatrix}$$
Clamamos $D$ a esta matriz y calculamos la suya inversa con a siguient formula:

$$D^{-1}=\dfrac1{|D|}\cdot(\text{Adj}D)^t
|D|=-4\qquad \text{Adj}D=\begin{pmatrix}0&-1\\-4&3\end{pmatrix}$$
Dimpués:

$$(A\cdot B^t)^{-1}=D^{-1}=\frac{1}{-4}\cdot\begin{pmatrix}0&-4\\-1&3\end{pmatrix}$$

b) Comprebamos que $C^3=I$:

$$C^2=C\cdot C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$$
$$C^3=C^2\cdot C=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
Pa calcular $C^{16}$ dividimos $16$ entre $3$, dando cociente $5$ y resta $1$. Tenendo en cuenta la resta:

$$C^{16}=C^1=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$$