Probabilitat i xarxes socials

En un estudi sobre l’ús de les xarxes socials entre l’alumnat de Batxillerat, s’ha recollit informació sobre el temps diari dedicat a aquestes plataformes. Després d’analitzar una mostra aleatòria de $150$ estudiants, s’ha trobat que el temps mitjà dedicat és de $3$ hores amb una desviació típica de $45$ minuts (recorda passar els minuts a hores).

a) Calcula un interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana del temps diari que l’alumnat de Batxillerat dedica a les xarxes socials. Què significa aquest interval en el context del problema?

b) Suposem que es vol canviar l’amplada de l’interval de confiança conservant el mateix nivell de confiança del $95\%$. La desviació típica es manté la mateixa. Quina hauria de ser la mida de la mostra per aconseguir que l’amplitud de l’interval sigui de $\pm15$ minuts?

a) Càlcul de l’interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana del temps diari dedicat a les xarxes socials

Primer, passem la desviació típica de $45$ minuts a hores:
$$45 \text{ minuts} = \frac{45}{60} = 0,75 \text{ hores}$$

Tenim:

• Mitjana $\overline{x} = 3$ hores
• Desviació típica $\sigma = 0,75$ hores
• Mida de la mostra $n = 150$
• Nivell de confiança$=95\%$

Per calcular l’interval de confiança, utilitzem la fórmula següent:

$$IC = \overline{x} \pm z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

On:

• $z_{\frac{\alpha}{2}}$ és el valor crític per a un nivell de confiança del $95\%$. Aquest valor és aproximadament $1,96$.
• $\sigma$ és la desviació típica poblacional (o de la mostra, si la poblacional no és coneguda).
• $n$ és la mida de la mostra.

Calculem el marge d’error $E$:

$$E = z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{0,75}{\sqrt{150}}$$

Calculem:

$$E = 1,96 \cdot \frac{0,75}{\sqrt{150}} \approx 1,96 \cdot \frac{0,75}{12,247} \approx 1,96 \cdot 0,0612 \approx 0,120$$

L’interval de confiança és:

$$IC = 3 \pm 0,12$$

Per tant, l’interval de confiança és de $2,88$ hores a $3,12$ hores.

Interpretació: Amb un nivell de confiança del $95\%$, podem dir que la mitjana del temps diari que l’alumnat de Batxillerat dedica a les xarxes socials es troba entre $2,88$ i $3,12$ hores.

b) Càlcul de la mida de la mostra per obtenir un interval de confiança de $\pm15$ minuts ($0,25$ hores)

Volem que l’amplada de l’interval sigui de $\pm0,25$ hores ($15$ minuts). Sabem que el marge d’error $E$ és:

$$E = z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

I volem que:

$$E = 0,25$$

Sabem que $z_{\frac{\alpha}{2}} = 1,96$ i $\sigma = 0,75$. Ara, trobem la mida de la mostra $n$:

$$0,25 = 1,96 \cdot \frac{0,75}{\sqrt{n}}$$

Resolent per $\sqrt{n}$:

$$\sqrt{n} = \frac{1,96 \cdot 0,75}{0,25} = \frac{1,47}{0,25} = 5,88$$

Ara, elevem al quadrat per trobar $n$:

$$n = (5,88)^2 \approx 34,57$$

Per tant, la mida de la mostra necessària és de $35$ estudiants (ja que $n$ ha de ser un nombre enter i sempre arrodonim cap amunt per assegurar l’amplada desitjada).

Conclusió: Amb una mostra de $35$ estudiants, mantenint el mateix nivell de confiança del $95\%$, l’amplada de l’interval de confiança seria de $\pm15$ minuts ($0,25$ hores).