Probabilitat i botiga en línia

Una botiga en línia ha implementat una nova estratègia de màrqueting per augmentar el nombre de compres per part de clients nous. Després de la campanya, s’ha pres una mostra aleatòria de $400$ compres, trobant que $88$ d’aquestes van ser realitzades per clients que van afirmar que la campanya va influir en la seva decisió de compra.

a) Calcula un interval de confiança del $95\%$ per a la proporció de compres realitzades a causa de la campanya de màrqueting entre tots els clients de la botiga en línia. Quina interpretació pots fer d’aquest interval en relació amb l’efectivitat de la campanya?

b) Utilitzant la proporció de clients influïts per la campanya obtinguda en l’apartat a), calcula quants clients esperaríem que estiguessin influenciats per la campanya si la mostra fos de $20$ persones.

c) Quina és la probabilitat que només $3$ persones es vegin influïdes per la campanya en una mostra de $20$ persones?

a) Càlcul de l’interval de confiança del $95\%$ per a la proporció de compres influïdes per la campanya de màrqueting

Primer, trobem la proporció de compres influïdes per la campanya:

$$\hat{p} = \frac{88}{400} = 0,22$$

On:

• $\hat{p}$ és la proporció mostral.
• $n = 400$ és la mida de la mostra.

L’interval de confiança del $95\%$ per a la proporció poblacional $p$ es calcula amb la següent fórmula:

$$IC = \hat{p} \pm z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Per un nivell de confiança del $95\%$, $z_{\frac{\alpha}{2}} = 1,96$.

Substituint els valors:

$$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,22 \cdot (1 – 0,22)}{400}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,22 \cdot 0,78}{400}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,1716}{400}} = 1,96 \cdot \sqrt{0,000429} \approx 1,96 \cdot 0,0207 \approx 0,0406$$

Per tant, l’interval de confiança és:

$$IC = 0,22 \pm 0,0406$$

L’interval de confiança és de $0,1794$ a $0,2606$.

Interpretació: Amb un nivell de confiança del $95\%$, podem dir que la proporció de compres realitzades a causa de la campanya de màrqueting entre tots els clients de la botiga en línia es troba entre un $17,94\%$ i un $26,06\%$. Això indica que la campanya té un efecte positiu notable, ja que una part significativa de les compres pot haver estat influenciada per ella.

b) Nombre esperat de clients influïts per la campanya en una mostra de $20$ persones

Utilitzant la proporció estimada $\hat{p} = 0,22$, esperem que:

$$\text{Nombre esperat} = \hat{p} \cdot n = 0,22 \cdot 20 = 4,4$$

Per tant, en una mostra de $20$ persones, esperaríem que aproximadament $4$ o $5$ persones estiguessin influïdes per la campanya.

c) Probabilitat que només $3$ persones es vegin influïdes per la campanya en una mostra de $20$ persones

Aquesta és una situació que es pot modelar utilitzant una distribució binomial, ja que estem comptant el nombre de successos (persones influïdes) en un nombre fix de proves (mostra de $20$ persones).

La funció de probabilitat de la distribució binomial és:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot \hat{p}^k \cdot (1-\hat{p})^{n-k}$$

On:

• $n = 20$ és la mida de la mostra.
• $k = 3$ és el nombre de persones influïdes que volem.
• $\hat{p} = 0,22$.

Calculem:

$$P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot 0,22^3 \cdot (1-0,22)^{17}$$

Primer, calculem el coeficient binomial $\binom{20}{3}$:

$$\binom{20}{3} = \frac{20!}{3! \cdot (20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140$$

Ara calculem la probabilitat:

$$P(X = 3) = 1140 \cdot 0,22^3 \cdot 0,78^{17}$$

Calculant cada terme:

$$0,22^3 = 0,010648$$
$$0,78^{17} \approx 0,040852$$

Finalment:

$$P(X = 3) \approx 1140 \cdot 0,010648 \cdot 0,040852 \approx 0,496$$

Per tant, la probabilitat que exactament $3$ persones es vegin influïdes per la campanya en una mostra de $20$ persones és aproximadament $0,0496$ o $4,96\%$.