Problema aproximació de la binomial a la normal. Enquesta de mòbils

Una empresa d’investigació de mercat realitza una enquesta per determinar la proporció de persones en una ciutat que prefereixen un nou model de telèfon mòbil. Històricament, s’ha observat que al voltant del $40\%$ de la població prefereix aquesta marca. L’empresa enquesta $250$ persones.

Suposem que aquesta situació es pot modelar amb una distribució binomial i volem aproximar-la a una distribució normal. Volem calcular la probabilitat que entre les $250$ persones, entre $90$ i $110$ prefereixin aquesta marca.

Per calcular la probabilitat que entre $90$ i $110$ persones d’una mostra de $250$ prefereixin una marca de telèfon mòbil (sabent que històricament un $40\%$ de la població prefereix aquesta marca), podem utilitzar l’aproximació normal a la distribució binomial.

1. Verificar les condicions per a l’aproximació normal

L’aproximació normal és vàlida si es compleixen les següents condicions:

• $n \cdot p \geq 5$
• $n \cdot (1 – p) \geq 5$

On:

• $n = 250$ (mida de la mostra)
• $p = 0,40$ (proporció de persones que prefereixen aquesta marca)

Verifiquem les condicions:

$$n \cdot p = 250 \cdot 0,40 = 100$$

$$n \cdot (1 – p) = 250 \cdot 0,60 = 150$$

Les dues condicions es compleixen, per tant, podem utilitzar l’aproximació normal.

2. Paràmetres de la distribució normal

La distribució normal que aproxima la distribució binomial tindrà una mitjana $\mu$ i una desviació estàndard $\sigma$ calculades de la següent manera:

$$\mu = n \cdot p = 250 \cdot 0,40 = 100$$

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 – p)} = \sqrt{250 \cdot 0,40 \cdot 0,60} = \sqrt{60} \approx 7,746$$

3. Normalització dels valors

Per calcular la probabilitat que entre $90$ i $110$ persones prefereixin aquesta marca, cal trobar les probabilitats corresponents a $89.5$ i $110.5$ (utilitzem la correcció per continuïtat):

Convertim aquests valors a $z$-scores:

$$z_{90} = \frac{89.5 – 100}{7,746} \approx \frac{-10.5}{7,746} \approx -1,355$$

$$z_{110} = \frac{110.5 – 100}{7,746} \approx \frac{10.5}{7,746} \approx 1,356$$

4. Consultar la taula de valors de la distribució normal

Utilitzem una taula de valors de la distribució normal estàndard (o funcions estadístiques) per trobar les probabilitats corresponents a aquests $z$-scores:

$$P(Z \leq -1,355) \approx 0,0882$$

$$P(Z \leq 1,356) \approx 0,9121$$

5. Calcular la probabilitat total

La probabilitat que entre $90$ i $110$ persones prefereixin aquesta marca és:

$$P(90 \leq X \leq 110) = P(Z \leq 1,356) – P(Z \leq -1,355) = 0,9121 – 0,0882 = 0,8239$$

Per tant, la probabilitat que entre $90$ i $110$ persones de la mostra de $250$ prefereixin aquesta marca és aproximadament $0,824$ o $82,4\%$.