Moviment Harmònic Simple d’una Partícula

Una partícula realitza un MHS descrit per \( x = 3,0 \cos(5,0\pi t) \), on \( x \) està en metres i \( t \) en segons. a) Determineu la freqüència (\( f \)) i període (\( T \)) del moviment. b) Quina és la major distància de la partícula a la posició d’equilibri? c) On es troba la partícula en \( t = 2,0 \, \text{s} \) i \( t = 0,5 \, \text{s} \)? d) Trobeu l’expressió de la velocitat i la velocitat màxima. e) Per quins instants la velocitat és màxima i on es troba la partícula?

Anem a resoldre pas a pas el problema d’una partícula que realitza un moviment harmònic simple (MHS) descrit per l’equació \( x = 3,0 \cos(5,0\pi t) \), on \( x \) està en metres i \( t \) en segons.

Dades inicials: L’equació del MHS té la forma general \( x = A \cos(\omega t + \phi) \). Comparant:

• Amplitud: \( A = 3,0 \, \text{m} \)

• Freqüència angular: \( \omega = 5,0\pi \, \text{rad/s} \)

• Fase inicial: \( \phi = 0 \)

a) Freqüència (\( f \)) i període (\( T \)) del moviment La freqüència angular \( \omega \) està relacionada amb la freqüència \( f \) per:\[ \omega = 2\pi f \]Aïllant \( f \):\[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{5,0\pi}{2\pi} = 2,5 \, \text{Hz} \]El període \( T \) és l’invers de la freqüència:\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2,5} = 0,4 \, \text{s} \]

b) Major distància de la partícula a la posició d’equilibri. La major distància a la posició d’equilibri és l’amplitud del moviment, que es pot extreure directament de l’equació:\[ A = 3,0 \, \text{m} \]Per tant, la major distància és:\[ 3,0 \, \text{m} \]

c) Posició de la partícula en \( t = 2,0 \, \text{s} \) i \( t = 0,5 \, \text{s} \) Substituint els temps donats a l’equació \( x = 3,0 \cos(5,0\pi t) \):

• Per \( t = 2,0 \, \text{s} \):\[ x = 3,0 \cos(5,0\pi \cdot 2,0) = 3,0 \cos(10\pi) \]Com que \( 10\pi = 5 \cdot 2\pi \), és un múltiple sencer de \( 2\pi \), i \( \cos(10\pi) = \cos(0) = 1 \):\[ x = 3,0 \cdot 1 = 3,0 \, \text{m} \]

• Per \( t = 0,5 \, \text{s} \):\[ x = 3,0 \cos(5,0\pi \cdot 0,5) = 3,0 \cos(2,5\pi) \]Sabem que \( 2,5\pi = \pi + 0,5\pi \), i \( \cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta) \), així que:\[ \cos(2,5\pi) = \cos(\pi + 0,5\pi) = -\cos(0,5\pi) = -\cos(\pi/2) = 0 \]Per tant:\[ x = 3,0 \cdot 0 = 0 \, \text{m} \]

d) Expressió de la velocitat i velocitat màxima. La velocitat \( v \) en un MHS és la derivada de la posició respecte al temps:\[ x = 3,0 \cos(5,0\pi t) \]\[ v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [3,0 \cos(5,0\pi t)] = 3,0 \cdot (-\sin(5,0\pi t)) \cdot (5,0\pi) \]\[ v = -15,0\pi \sin(5,0\pi t) \, \text{m/s} \] La velocitat màxima es produeix quan \( \sin(5,0\pi t) = \pm 1 \):\[ v_{\text{màx}} = 15,0\pi \cdot 1 = 15,0\pi \approx 47,1 \, \text{m/s} \]

e) Instants en què la velocitat és màxima i posició de la partícula. La velocitat és màxima quan \( |\sin(5,0\pi t)| = 1 \), és a dir:

$$5,0\pi t = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (\text{per}\ k \in \mathbb{Z})$$

Aïllant \( t \):\[ t = \frac{\pi/2 + k\pi}{5,0\pi} = \frac{1/2 + k}{5,0} = \frac{1 + 2k}{10} \]

Prenem alguns valors de \( k \):

• \( k = 0 \): \( t = \frac{1}{10} = 0,1 \, \text{s} \)

• \( k = 1 \): \( t = \frac{3}{10} = 0,3 \, \text{s} \)

• \( k = 2 \): \( t = \frac{5}{10} = 0,5 \, \text{s} \)

• \( k = 3 \): \( t = \frac{7}{10} = 0,7 \, \text{s} \), etc.

Posició en aquests instants: Quan la velocitat és màxima, la partícula està a la posició d’equilibri (perquè \( \cos(\theta) = 0 \) quan \( \sin(\theta) = \pm 1 \)). Substituint, per exemple, \( t = 0,1 \, \text{s} \):\[ x = 3,0 \cos(5,0\pi \cdot 0,1) = 3,0 \cos(0,5\pi) = 3,0 \cdot 0 = 0 \, \text{m} \]Aquest resultat es repeteix per tots els instants calculats: la posició és sempre \( x = 0 \, \text{m} \).

Resum:

a) \( f = 2,5 \, \text{Hz} \), \( T = 0,4 \, \text{s} \)

b) Major distància: \( 3,0 \, \text{m} \)

c) \( t = 2,0 \, \text{s} \): \( x = 3,0 \, \text{m} \); \( t = 0,5 \, \text{s} \): \( x = 0 \, \text{m} \)

d) \( v = -15,0\pi \sin(5,0\pi t) \, \text{m/s} \), \( v_{\text{màx}} = 47,1 \, \text{m/s} \)

e) Instants: \( t = \frac{1 + 2k}{10} \, \text{s} \) (ex.: 0,1 s, 0,3 s, 0,5 s…), posició: \( x = 0 \, \text{m} \).