Càlcul de Forces i Acceleracions Gravitatòries en un Sistema de Masses Puntuals

En els punts $A(-30, 0)$ i $B(+20, 0)$ es troben fixades dues masses puntuals de $10^5$ kg cadascuna. En el punt $(0, -15)$ es troba una petita esfera de $400$ g de massa, que es pot moure lliurement. Tenint en compte que les distàncies estan expressades en metres. Calcula: a) La força exercida (mòdul, direcció i sentit) sobre l’esfera en la seva posició inicial. b) L’acceleració que experimentarà l’esfera just quan es trobi en el punt $(0, 0)$ entre els cossos $A$ i $B$. c) Enuncia el principi de superposició de camps.

Dada: \( G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2 \)

a) Primer realitzem la representació gràfica:

Llavors apliquem el principi de superposició per calcular el camp gravitatori en el punt (0, -15), a partir d’ara denominat C.\[\vec{g}_{\text{Total}} = \vec{g}_A + \vec{g}_B = – \frac{G \cdot m_A}{r_{AC}^2} \cdot \vec{u}_{r_{AC}} – \frac{G \cdot m_B}{r_{BC}^2} \cdot \vec{u}_{r_{BC}}\]

Calculem els vectors de posició i els vectors unitaris corresponents: \[\vec{r}_{AC} = (0, -15) – (-30, 0) = (30, -15) \rightarrow \vec{u}_{r_{AC}} = \frac{\vec{r}_{AC}}{|\vec{r}_{AC}|} = \frac{30 \vec{i} – 15 \vec{j}}{\sqrt{(30)^2 + (-15)^2}} = \frac{30 \vec{i} – 15 \vec{j}}{\sqrt{1125}} = \frac{30 \vec{i} – 15 \vec{j}}{15 \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \vec{i} – \frac{1}{\sqrt{5}} \vec{j}\]\[\vec{r}_{BC} = (0, -15) – (20, 0) = (-20, -15) \rightarrow \vec{u}_{r_{BC}} = \frac{\vec{r}_{BC}}{|\vec{r}_{BC}|} = \frac{-20 \vec{i} – 15 \vec{j}}{\sqrt{(-20)^2 + (-15)^2}} = \frac{-20 \vec{i} – 15 \vec{j}}{\sqrt{625}} = \frac{-20 \vec{i} – 15 \vec{j}}{25} = -\frac{4}{5} \vec{i} – \frac{3}{5} \vec{j}\]

Substituïm els valors en l’expressió del camp gravitatori: \[\vec{g}_{\text{Total}} = – \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 10^5 \text{kg}}{(15 \sqrt{5} \text{m})^2} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \vec{i} – \frac{1}{\sqrt{5}} \vec{j} \right) – \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 10^5 \text{kg}}{(25 \text{m})^2} \left( -\frac{4}{5} \vec{i} – \frac{3}{5} \vec{j} \right) =\]\[= 3,23 \cdot 10^{-9} \vec{i} + 9,06 \cdot 10^{-9} \vec{j} \, \frac{\text{N}}{\text{kg}}\]**La força gravitatòria exercida sobre l’esfera en el punt C serà: \[\vec{F}_g = m \cdot \vec{g}_{\text{Total}} = 0,4 \text{kg} \cdot (3,23 \cdot 10^{-9} \vec{i} + 9,06 \cdot 10^{-9} \vec{j}) \frac{\text{N}}{\text{kg}} = 1,29 \cdot 10^{-9} \vec{i} + 3,62 \cdot 10^{-9} \vec{j} \, \text{N}\]

El mòdul serà: \[|\vec{F}_g| = \sqrt{(1,29 \cdot 10^{-9})^2 + (3,62 \cdot 10^{-9})^2} \, \text{N} = 3,84 \cdot 10^{-9} \, \text{N}\]

b) L’acceleració que patirà l’esfera quan es trobi en el punt (0, 0), a partir d’ara denominat O, vindrà donada per la intensitat del camp gravitatori degut a les masses A i B en aquest punt:\[\vec{g}_{\text{Total}} = \vec{g}_A + \vec{g}_B = – \frac{G \cdot m_A}{r_{AO}^2} \cdot \vec{u}_{r_{AO}} – \frac{G \cdot m_B}{r_{BO}^2} \cdot \vec{u}_{r_{BO}}\] Calculem els vectors de posició i els vectors unitaris corresponents: \[\vec{r}_{AO} = (0, 0) – (-30, 0) = (30, 0) \rightarrow \vec{u}_{r_{AO}} = \frac{\vec{r}_{AO}}{|\vec{r}_{AO}|} = \frac{30 \vec{i}}{\sqrt{(30)^2}} = \vec{i}\]\[\vec{r}_{BO} = (0, 0) – (20, 0) = (-20, 0) \rightarrow \vec{u}_{r_{BO}} = \frac{\vec{r}_{BO}}{|\vec{r}_{BO}|} = \frac{-20 \vec{i}}{\sqrt{(-20)^2}} = -\vec{i}\]**Substituïm els valors en l’expressió del camp gravitatori: \[\vec{g}_{\text{Total}} = – \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 10^5 \text{kg}}{(30 \text{m})^2} \cdot \vec{i} – \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2} \cdot 10^5 \text{kg}}{(20 \text{m})^2} \cdot (-\vec{i}) =\]\[= -7,41 \cdot 10^{-9} \frac{\text{N}}{\text{kg}} \vec{i} + 1,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{N}}{\text{kg}} \vec{i} = 9,29 \cdot 10^{-9} \frac{\text{N}}{\text{kg}} \vec{i} = 9,29 \cdot 10^{-9} \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \vec{i}\]

c) El principi de superposició de camps diu que la intensitat del camp gravitatori creat per un conjunt de masses puntuals en un punt és la suma vectorial dels camps que crearia cada massa si estigués ella sola en aquella regió de l’espai.\[\vec{g}_{\text{Total}} = \sum_i \vec{g}_i = \sum_i \left( – \frac{G \cdot M_i}{r_i^2} \right) \cdot \vec{u}_{r_i}\]