Comparació de l’oscil·lació d’un pèndol simple a la Terra i a la Lluna

Un pèndol simple està format per una corda de 6,2 m i una massa puntual de 2 kg que separem 5º de la vertical i deixem oscil·lar lliurement. Calcula:a) El període i l’amplitud de les oscil·lacions. La tensió de la corda i la força resultant que actua sobre el cos quan la el·longació és màxima.b) Què valors se n’obtindrien en la Lluna, si l’acceleració de la gravetat en la seva superfície és la sisena part que en la de la Terra?

La freqüència angular del pèndol és: \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,81 \, \text{m/s}^2}{6,2 \, \text{m}}} = 1,26 \, \text{rad/s} \]

a) Coneguda la freqüència angular, determinem el període: \[ T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} = \frac{2 \cdot \pi}{1,26 \, \text{rad/s}} = 5 \, \text{s} \]

I l’amplitud del moviment serà: \[ A = l \cdot \sin \alpha = 6,2 \, \text{m} \cdot \sin 5º = 0,54 \, \text{m} \]

b) El desglossament de les forces que actuen sobre la massa en el pèndol és:

La component normal del pes serà igual a la tensió de la corda: \[ T = P_N = P \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot \cos \alpha = 2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot \cos 5º = 19,5 \, \text{N} \] Quan l’elongació és màxima, la força resultant serà igual a la component tangencial del pes: \[ F_R = P_T = P \cdot \sin \alpha = m \cdot g \cdot \sin \alpha = 2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot \sin 5º = 1,7 \, \text{N} \]

c) L’acceleració en la Lluna és una sisena part a la que hi ha en la Terra, per tant, calculem el valor de la seva freqüència angular: \[ \omega_L = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,81 \, \text{m/s}^2 / 6}{6,2 \, \text{m}}} = 0,51 \, \text{rad/s} \] El període, per tant, serà: \[ T_L = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} = \frac{2 \cdot \pi}{0,51 \, \text{rad/s}} = 12,2 \, \text{s} \] L’amplitud és la mateixa que en la Terra. El valor de la tensió de la corda serà una sisena part a la que hi ha en la Terra: \[ T_L = \frac{T_R}{6} = \frac{19,5 \, \text{N}}{6} = 3,25 \, \text{N} \] La força resultant, al igual que la tensió, serà un sisè del valor en la Terra: \[ F_{RL} = \frac{F_{RT}}{6} = \frac{1,7 \, \text{N}}{6} = 0,28 \, \text{N} \]