Intensitat del camp gravitatori en un triangle

En cadascun dels vèrtexs d’un triangle equilàter de 6 m de costat, hi ha una massa de 120 kg. Calcula la intensitat del camp gravitatori en el punt mitjà d’un dels costats.

Dades: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2}$

$$m_1 = m_2 = m_3 = 120 \, \mathrm{kg}; \, l = 6 \, \mathrm{m}; \, r_1 = r_3 = 3 \, \mathrm{m}; \, r_2 = \sqrt{6^2 – 3^2} = 3\sqrt{3} \, \mathrm{m}.$$

$$\vec{r_1} = -3 \vec{i} \, \mathrm{m}; \, \vec{r_2} = -3\sqrt{3} \vec{j} \, \mathrm{m}; \, \vec{r_3} = 3 \vec{i} \, \mathrm{m}.$$

D’acord amb el principi de superposició, el camp creat per un conjunt de masses puntuals en un punt de l’espai és igual a la suma vectorial dels camps gravitatoris que cadascuna d’aquestes masses originaria en aquest punt de forma individual.

$$\vec{g} = \vec{g_1} + \vec{g_2} + \vec{g_3}$$

Per la simetria del problema, tal com es veu al dibuix, $\vec{g_1}$ i $\vec{g_3}$ són dos vectors en la mateixa direcció, de sentit contrari i igual mòdul, per la qual cosa s’anul·len mútuament. En conseqüència, $\vec{g} = \vec{g_2}$.

$$\vec{g} = \vec{g_2} = -G \cdot \frac{m_2}{r_2^2} \cdot \vec{r_2} = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{120}{3 \cdot \sqrt{3^3}} \cdot (-3\sqrt{3} \vec{j})$$

$$\vec{g} = 2,96 \cdot 10^{-10} \, \mathrm{N/kg} \quad \Rightarrow \quad g = 2,96 \cdot 10^{-10} \, \mathrm{N/kg}$$

Dibuix: