L’ansietat i la distribució normal

Les puntuacions en un test de ansietat-rasgo segueixen, en una població de dones, una distribució Normal de mitjana 25 i desviació típica 10. Si volem classificar la població en quatre grups de igual mida, quines seran les puntuacions que delimiten aquests grups?

Les puntuacions que delimiten aquests quatre grups seran el primer, segon i tercer quartil de la distribució \[\operatorname{Pr}(X \leq Q_1) = 0,25 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Pr}\left(Z \leq \frac{Q_1 – 25}{10}\right) = 0,25\]buscant en les taules de la Normal zero, un valor de la variable que deixa per sota d’ell una probabilitat de 0,25 tenim:\[\operatorname{Pr}(Z \leq -0,67) = 0,25 \quad \text{llavors} \quad \frac{Q_1 – 25}{10} = -0,67\]i despejant\[Q_1 = 25 – 10 \cdot 0,67 = 18,3\]

Com en la distribució Normal mitjana i mediana són iguals tindrem que: \[Q_2 = 25\]\[\operatorname{Pr}(X \leq Q_3) = 0,75 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Pr}\left(Z \leq \frac{Q_3 – 25}{10}\right) = 0,75\]buscant en les taules\[\operatorname{Pr}(Z \leq 0,67) = 0,75 \quad \text{llavors} \quad \frac{Q_3 – 25}{10} = 0,67\]despejament\[Q_3 = 25 + 10 \cdot 0,67 = 31,7\]

Per consegüent el primer grup seran els individus amb puntuacions inferiors o iguals a 18,3, el segon aquells amb puntuacions entre 18,3 i 25, el tercer els subjectes amb puntuacions entre 25 i 31,7 i el quart aquells que tinguin puntuacions superiors a 31,7.