Problema diagonalització matrius

Diagonalitza la següent matriu \[\begin{pmatrix}4 & 6 & 0 \\-3 & -5 & 0 \\-3 & -6 & -5\end{pmatrix}.\]

En primer lloc hi ha que determinar els valors propis resolen l’equació característica\[0 = \det(A – \lambda I) = \begin{vmatrix}4 – \lambda & 6 & 0 \\-3 & -5 – \lambda & 0 \\-3 & -6 & -5 – \lambda\end{vmatrix}= (4 – \lambda)(-5 – \lambda)(-5 – \lambda) + 18(-5 – \lambda) = (-5 – \lambda)(4 + 2\lambda – \lambda),\]Per tant, els valors propis són \(\lambda_1 = -5, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = 1\). Ara calculem els vectors propis associats als valors propis per a \(\lambda_1 = -5\). Busquem un vector de coordenades \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) tal que \(A\vec{v} = -5\vec{v}\), per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions \((A – (-5)I)\vec{v} = 0\),\[\begin{pmatrix}9 & 6 & 0 \\-3 & 0 & 0 \\-3 & -6 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \\0\end{pmatrix}.\]El resultat és \(v_1 = 0, v_2 = 0\) i no hi ha cap restricció sobre \(v_3\). Per tant, un possible vector propi és \(\vec{w}_1 = (0, 0, 1)\).Ara es repeteix per a \(\lambda_2 = -2\). Hem de resoldre el sistema d’equacions \((A – (-2)I)\vec{v} = 0\),\[\begin{pmatrix}6 & 6 & 0 \\-3 & -3 & 0 \\-3 & -6 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\v_2 \\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \\0\end{pmatrix}.\]El resultat és \(v_2 = -v_1\) i \(v_3 = v_1\). Per tant, un possible vector propi és \(\vec{w}_2 = (1, -1, 1)\). Finalment per a \(\lambda_3 = 1\), hem de resoldre el sistema d’equacions \((A – 1I)\vec{v} = 0\), i el resultat és \(v_1 = -2v_2\) i \(v_3 = 0\). Per tant, un possible vector propi és \(\vec{w}_3 = (-2, 1, 0)\).

Espais vectorials, matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals. Ara la matriu de pas, formada pels vectors propis associats als valors propis posats en columna, verifica que \(P^{-1} \cdot A \cdot P = D\), és a dir, si\[P = \begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\0 & -1 & 1 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 \\0 & -2 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix},\]aleshores,\[P^{-1} \cdot A \cdot P = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\-1 & -2 & 0 \\-1 & -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & 6 & 0 \\-3 & -5 & 0 \\-3 & -6 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\0 & -1 & 1 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 & 0 & 0 \\0 & -2 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]A mes a mes, els vectors propis formen una base de \(\mathbb{R}^3\), és a dir, \([\vec{w}_1 = (0, 0, 1), \vec{w}_2 = (1, -1, 1), \vec{w}_3 = (-2, 1, 0)]\).