Càlcul matriu inversa

Calcula la matriu inversa de \[A = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\0 & 2 & -2 \\2 & -2 & 3\end{pmatrix}.\]

En primer lloc, hi ha que calcular el determinant per veure si s’anul·la (NO podrem calcular-la!) o no. El determinant és \( |A| = 6 – 4 + 4 – 4 = 2 \neq 0 \). Per tal de calcular la matriu inversa cal primer calcular la matriu adjunta\[\tilde{A} = \begin{pmatrix}\begin{vmatrix}2 & -2 \\-2 & 3\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}0 & -2 \\2 & 3\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}0 & 2 \\2 & -2\end{vmatrix} \\-\begin{vmatrix}1 & -1 \\2 & 3\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -1 \\2 & 3\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1 & 1 \\2 & -2\end{vmatrix} \\\begin{vmatrix}1 & -1 \\0 & -2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1 & 1 \\0 & 2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & 1 \\0 & 2\end{vmatrix}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -4 & -4 \\-1 & 5 & 4 \\0 & 2 & 2\end{pmatrix}\]i també la transposta d’aquesta\[\tilde{A}^T = \begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\-4 & 5 & 2 \\-4 & 4 & 2\end{pmatrix}.\]Finalment, la matriu inversa és\[A^{-1} = \frac{\tilde{A}^T}{|A|} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\-4 & 5 & 2 \\-4 & 4 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -\frac{1}{2} & 0 \\-2 & \frac{5}{2} & 1 \\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}.\]