Problema pressió hidroestàtica

Un dipòsit de secció $0{,}50 \, \text{m}^2$ conté aigua fins a una altura de $0{,}75 \, \text{m}$. S’hi fica un cub d’aresta $0{,}20 \, \text{m}$ i densitat $0{,}80$. Trobar: a) La pressió en un punt del fons del dipòsit abans de ficar-hi el cub. b) La pressió en un punt del fons del dipòsit després de ficar-hi el cub. c) Les forces que actuen en el fons del dipòsit en els apartats anteriors.

La equació fonamental de la hidroestàtica, ens dóna la diferència de pressions $\Delta p$ entre dos punts situats en dos plans horitzontals que disten $\Delta h$, en un fluid de densitat $\rho$, és: \[\Delta p = \rho \, g \, \Delta h\]

a) Suposant que no existeix pressió atmosfèrica, un punt sobre la superfície de l’aigua té pressió $0$ i la pressió en un punt del fons serà \[\Delta p = \rho \, g \, h\] Com que la densitat de l’aigua $\rho = 1 \, \text{g/cm}^3 = 1000 \, \text{kg/m}^3$, és\[p = 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9{,}8 \, \text{m/s}^2 \cdot 0{,}75 \, \text{m} =\]\[= 7{,}35 \cdot 10^3 \, \text{N/m}^2\]

b) En ficar el cub a l’aigua, desplaçarà un volum d’ella, fet que augmenta l’altura de l’aigua al dipòsit. El volum d’aigua desplaçada es calcula aplicant el teorema d’Arquimedes: quan el cub està en equilibri, el seu pes ha de ser igual al pes del volum d’aigua desallotjada (empenta), és a dir:\[p = E\]\[m \, g = \rho \, V \, g\]la massa del cub és: $m = a^3 \, \rho’$ i és així:\[a^3 \, \rho’ \, g = \rho \, V \, g\]el volum d’aigua desallotjada és:\[V = \frac{a^3 \, \rho’}{\rho}\]i com que $\rho’/\rho = 0{,}80$, la densitat relativa del cub, obtenim\[V = (0{,}20)^3 \cdot 0{,}80 = 0{,}64 \cdot 10^{-2} \, \text{m}^3\] Com que la secció del dipòsit és:\[S = 0{,}50 \, \text{m}^2\]

El volum d’aigua desallotjada $V$ fa que l’altura de l’aigua al dipòsit augmenti en $\Delta x$\[\Delta x = \frac{V}{S} = \frac{0{,}64 \cdot 10^{-2} \, \text{m}^3}{0{,}50 \, \text{m}^2} = 1{,}3 \cdot 10^{-2} \, \text{m}\]La pressió en un punt del fons del dipòsit, és ara:\[p’ = \rho \, g \, (h + \Delta x) = 7{,}48 \cdot 10^3 \, \text{N/m}^2\]

c) Les forces que suporten el fons del dipòsit són:sense el cub: \[F = p \, S = 7{,}35 \cdot 10^3 \, \text{N/m}^2 \cdot 0{,}50 \, \text{m}^2 = 3{,}68 \cdot 10^3 \, \text{N}\]amb el cub: \[F’ = p’ \, S = 7{,}48 \cdot 10^3 \, \text{N/m}^2 \cdot 0{,}50 \, \text{m}^2 = 3{,}74 \cdot 10^3 \, \text{N}\]Aquestes forces són:\[F = p \, S = \rho \, g \, h \, S = \rho \, g \, V_a \quad \text{(pes de l’aigua del dipòsit)}\]\[F’ = p’ \, S = \rho \, g \, (h + \Delta x) \, S = \rho \, g \, V_a + \rho \, g \, \Delta x \, S =\]\[= \rho \, g \, V_a + \rho \, g \, V = \rho \, g \, V_a + \rho \, g \, a^3 \frac{\rho’}{\rho} =\]\[= \rho \, g \, V_a + \rho’ \, g \, a^3 \quad \text{(pes de l’aigua del dipòsit més pes del cub).}\]